04 // Kompendium Rumus Interaktif // KUMPULAN RUMUS KALKULUS, DERET & IDENTITAS ALJABAR(a + b)ⁿ = Σ_{k=0..n} C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ
Rumus Teorema Binomial — Ekspansi Pangkat, Segitiga Pascal & Suku Umum
Menjabarkan perpangkatan bentuk dua suku (a + b)ⁿ menjadi penjumlahan n + 1 suku yang dibobot dengan koefisien kombinasi C(n, k).
Ringkasan Rumus
Rumus Utama
(a + b)ⁿ = Σ_{k=0..n} C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ
Bentuk Turunan
T_{k+1} = C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ (General k-th Indexed Term)
C(n, k) = n! / (k! (n − k)!) (Binomial Coefficient)
Σ_{k=0..n} C(n, k) = 2ⁿ (Sum of Pascal Row)
Variabel & Satuan
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| T_{k+1} | Evaluated Binomial Term C(n,k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ | dimensionless |
| a | First Base Term (a) | 1 |
| b | Second Base Term (b) | 1 |
| n | Binomial Exponent (n) | integer |
| k | Term Index (0 ≤ k ≤ n) | integer |
Input & Parameter
[1]
[1]
[integer]
[integer]
Hasil Perhitungan (Evaluated Binomial Term C(n,k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ)
T_{k+1} =216dimensionless
Catatan & Penjelasan Rumus
- Multiplying n identical factors (a + b)(a + b)...(a + b) produces terms of the form aⁿ⁻ᵏbᵏ by choosing 'b' from exactly k factors and 'a' from the remaining n − k factors.
- The number of distinct ways to select k factors out of n is the combinatorial coefficient C(n, k) = n! / (k!(n − k)!).
- Pascal's identity C(n, k) + C(n, k−1) = C(n+1, k) enables inductive proof for all integers n ≥ 0.
Contoh Soal & Pembahasan
#1: Find the k = 2 middle term in the expansion of (2 + 3)⁴.
a = 2b = 3n = 4k = 2
T₃ = C(4, 2) × 2^(4−2) × 3² = 6 × 4 × 9
→ T₃ = 216 (while full expansion (2+3)⁴ = 5⁴ = 625)
#2: Find the coefficient of x³y² in (2x + y)⁵.
a = 2b = 1n = 5k = 2
Coeff = C(5, 2) × 2³ × 1² = 10 × 8 × 1
→ 80 (so the term is 80x³y²)
Apakah alat ini membantu Anda?
Pertanyaan yang Sering Diajukan (FAQ)
Bagaimana cara menggunakan alat Rumus Teorema Binomial — Ekspansi Pangkat, Segitiga Pascal & Suku Umum ini?+
Masukkan nilai parameter atau geser kontrol untuk menghitung dan memvisualisasikan Rumus Teorema Binomial — Ekspansi Pangkat, Segitiga Pascal & Suku Umum dengan rumus (a + b)ⁿ = Σ_{k=0..n} C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ secara instan di browser Anda. Menjabarkan perpangkatan bentuk dua suku (a + b)ⁿ menjadi penjumlahan n + 1 suku yang dibobot dengan koefisien kombinasi C(n, k).
Apakah hasil dari Rumus Teorema Binomial — Ekspansi Pangkat, Segitiga Pascal & Suku Umum bisa diunduh atau dicetak?+
Ya! Alat ini mendukung ekspor grafik SVG/PNG resolusi tinggi, salin data CSV, serta cetak lembar kerja lengkap.
Bisakah saya menghapus data contoh di Rumus Teorema Binomial — Ekspansi Pangkat, Segitiga Pascal & Suku Umum dan mulai dari kosong?+
Ya. Klik tombol kosongkan di bagian atas alat untuk memulai dengan kanvas bersih, atau muat ulang data contoh kapan saja.