04 // ইন্টারঅ্যাক্টিভ সূত্র সংকলন // ক্যালকুলাস, ধারা ও বীজগাণিতিক অভেদ শিট(a + b)ⁿ = Σ_{k=0..n} C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ
দ্বিপদী উপপাদ্য সূত্র — বিস্তৃতি, পাস্কালের ত্রিভুজ ও সাধারণ পদ
দ্বিপদী সহগ C(n, k)-এর সাহায্যে যেকোনো দ্বিপদী রাশির ঘাত (a + b)ⁿ-কে n + 1 সংখ্যক পদের সমষ্টিতে বিস্তৃত করার সূত্র।
সূত্র পরিচিতি
মূল সূত্র
(a + b)ⁿ = Σ_{k=0..n} C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ
রূপান্তরিত সূত্র
T_{k+1} = C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ (General k-th Indexed Term)
C(n, k) = n! / (k! (n − k)!) (Binomial Coefficient)
Σ_{k=0..n} C(n, k) = 2ⁿ (Sum of Pascal Row)
চলক ও একক
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| T_{k+1} | Evaluated Binomial Term C(n,k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ | dimensionless |
| a | First Base Term (a) | 1 |
| b | Second Base Term (b) | 1 |
| n | Binomial Exponent (n) | integer |
| k | Term Index (0 ≤ k ≤ n) | integer |
ইনপুট ও প্যারামিটার
[1]
[1]
[integer]
[integer]
গণনার ফলাফল (Evaluated Binomial Term C(n,k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ)
T_{k+1} =216dimensionless
সূত্রের ব্যাখ্যা ও নোট
- Multiplying n identical factors (a + b)(a + b)...(a + b) produces terms of the form aⁿ⁻ᵏbᵏ by choosing 'b' from exactly k factors and 'a' from the remaining n − k factors.
- The number of distinct ways to select k factors out of n is the combinatorial coefficient C(n, k) = n! / (k!(n − k)!).
- Pascal's identity C(n, k) + C(n, k−1) = C(n+1, k) enables inductive proof for all integers n ≥ 0.
সমাধানসহ উদাহরণ
#1: Find the k = 2 middle term in the expansion of (2 + 3)⁴.
a = 2b = 3n = 4k = 2
T₃ = C(4, 2) × 2^(4−2) × 3² = 6 × 4 × 9
→ T₃ = 216 (while full expansion (2+3)⁴ = 5⁴ = 625)
#2: Find the coefficient of x³y² in (2x + y)⁵.
a = 2b = 1n = 5k = 2
Coeff = C(5, 2) × 2³ × 1² = 10 × 8 × 1
→ 80 (so the term is 80x³y²)
এই টুলটি কি আপনার কাজে লেগেছে?
সচরাচর জিজ্ঞাসিত প্রশ্নাবলী (FAQ)
দ্বিপদী উপপাদ্য সূত্র — বিস্তৃতি, পাস্কালের ত্রিভুজ ও সাধারণ পদ অনলাইন টুলটি কীভাবে কাজ করে?+
প্রদত্ত মানগুলো ইনপুট দিন অথবা স্লাইডার পরিবর্তন করুন—এই টুলটি ব্রাউজারে তাৎক্ষণিকভাবে দ্বিপদী উপপাদ্য সূত্র — বিস্তৃতি, পাস্কালের ত্রিভুজ ও সাধারণ পদ ((a + b)ⁿ = Σ_{k=0..n} C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ সূত্র অনুযায়ী) গণনা ও প্রদর্শন করে। দ্বিপদী সহগ C(n, k)-এর সাহায্যে যেকোনো দ্বিপদী রাশির ঘাত (a + b)ⁿ-কে n + 1 সংখ্যক পদের সমষ্টিতে বিস্তৃত করার সূত্র।
আমি কি দ্বিপদী উপপাদ্য সূত্র — বিস্তৃতি, পাস্কালের ত্রিভুজ ও সাধারণ পদ থেকে ফলাফল বা চার্ট ডাউনলোড করতে পারব?+
হ্যাঁ, আপনি তাৎক্ষণিকভাবে SVG, PNG, CSV ডাউনলোড বা ওয়ার্কশিট প্রিন্ট করতে পারবেন।
আমি কি দ্বিপদী উপপাদ্য সূত্র — বিস্তৃতি, পাস্কালের ত্রিভুজ ও সাধারণ পদ-এর নমুনা ডেটা মুছে নতুন করে শুরু করতে পারি?+
হ্যাঁ, টুলের উপরের ক্লিয়ার বোতামে ক্লিক করে সম্পূর্ণ ফাঁকা অবস্থায় নিজের মান বসাতে পারবেন এবং যেকোনো সময় নমুনা ডেটা ফিরিয়ে আনতে পারবেন।