04 // Interaktives Formel-Kompendium // EUKLIDISCHE, ANALYTISCHE, KEGELSCHNITT- & TRIGONOMETRIE-GESETZEsin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ), cos(2θ) = cos²(θ) − sin²(θ)

Trigonometrische Additionstheoreme, Doppelwinkel- & Halbwinkelformeln

Übersichtliche Referenz für Summensätze, Doppelwinkel-, Halbwinkel- und Potenzreduktions-Identitäten von Sinus, Kosinus und Tangens.

Formelübersicht

Hauptformel

sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ), cos(2θ) = cos²(θ) − sin²(θ)

Umgestellte Formen

cos(2θ) = 2 cos²(θ) − 1 = 1 − 2 sin²(θ)

sin²(θ) = (1 − cos(2θ)) / 2, cos²(θ) = (1 + cos(2θ)) / 2 (Power-Reduction)

tan(2θ) = 2 tan(θ) / (1 − tan²(θ))

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten — Trigonometric Double-Angle, Half-Angle & Angle-Sum Identities Sheet
Symbol	Name	Unit
sin(2θ)	Double-Angle Sine Value sin(2θ)	dimensionless
theta_deg	Base Angle θ (degrees)	deg

Eingaben & Parameter

theta_degBase Angle θ (degrees)[deg]

Berechnetes Ergebnis (Double-Angle Sine Value sin(2θ))

sin(2θ) =0.866025dimensionless

Formelhinweise & Herleitung

From Euler's formula, e^(i(α+β)) = e^(iα)e^(iβ) = (cos α + i sin α)(cos β + i sin β).
Matching real and imaginary parts gives cos(α+β) = cos α cos β − sin α sin β and sin(α+β) = sin α cos β + cos α sin β.
Setting α = β = θ immediately produces sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ) and cos(2θ) = cos²(θ) − sin²(θ).

Durchgerechnete Beispiele

#1: Find the exact values of sin(60°) and cos(60°) from θ = 30°.

θ = 30°sin(30°) = 0.5cos(30°) = √3/2

sin(60°) = 2(0.5)(√3/2) = √3/2; cos(60°) = (3/4) − (1/4) = 1/2

→ sin(60°) ≈ 0.86603, cos(60°) = 0.50000

#2: Find the exact value of sin(15°) using the half-angle formula with 2θ = 30°.

θ = 15°cos(30°) = √3/2

sin(15°) = √[(1 − cos 30°) / 2] = √[(2 − √3) / 4] = (√6 − √2) / 4

→ sin(15°) ≈ 0.25882

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie berechnet man Trigonometrische Additionstheoreme, Doppelwinkel- & Halbwinkelformeln mit diesem Online-Werkzeug?+

Geben Sie Ihre bekannten Größen ein oder bewegen Sie die Regler, um Trigonometrische Additionstheoreme, Doppelwinkel- & Halbwinkelformeln nach der Gleichung sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ), cos(2θ) = cos²(θ) − sin²(θ) sofort im Browser zu berechnen. Übersichtliche Referenz für Summensätze, Doppelwinkel-, Halbwinkel- und Potenzreduktions-Identitäten von Sinus, Kosinus und Tangens.

Kann ich die Ergebnisse und Diagramme von Trigonometrische Additionstheoreme, Doppelwinkel- & Halbwinkelformeln exportieren?+

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