04 // موسوعة المعادلات التفاعلية // قوانين الهندسة الإقليدية والتحليلية والقطوع وحساب المثلثاتsin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ), cos(2θ) = cos²(θ) − sin²(θ)
متطابقات ضعف الزاوية ونصف الزاوية ومجموع زاويتين المثلثية
مرجع مثلثي متكامل لمتطابقات مجموع وفرق زاويتين وضعف الزاوية ونصف الزاوية وتخفيض القوى.
مرجع المعادلة
المعادلة الأساسية
sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ), cos(2θ) = cos²(θ) − sin²(θ)
الصيغ البديلة
cos(2θ) = 2 cos²(θ) − 1 = 1 − 2 sin²(θ)
sin²(θ) = (1 − cos(2θ)) / 2, cos²(θ) = (1 + cos(2θ)) / 2 (Power-Reduction)
tan(2θ) = 2 tan(θ) / (1 − tan²(θ))
المتغيرات والوحدات
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| sin(2θ) | Double-Angle Sine Value sin(2θ) | dimensionless |
| theta_deg | Base Angle θ (degrees) | deg |
المدخلات والمعاملات
[deg]
النتيجة المحسوبة (Double-Angle Sine Value sin(2θ))
sin(2θ) =0.866025dimensionless
شرح المعادلة وملاحظاتها
- From Euler's formula, e^(i(α+β)) = e^(iα)e^(iβ) = (cos α + i sin α)(cos β + i sin β).
- Matching real and imaginary parts gives cos(α+β) = cos α cos β − sin α sin β and sin(α+β) = sin α cos β + cos α sin β.
- Setting α = β = θ immediately produces sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ) and cos(2θ) = cos²(θ) − sin²(θ).
أمثلة محلولة خطوة بخطوة
#1: Find the exact values of sin(60°) and cos(60°) from θ = 30°.
θ = 30°sin(30°) = 0.5cos(30°) = √3/2
sin(60°) = 2(0.5)(√3/2) = √3/2; cos(60°) = (3/4) − (1/4) = 1/2
→ sin(60°) ≈ 0.86603, cos(60°) = 0.50000
#2: Find the exact value of sin(15°) using the half-angle formula with 2θ = 30°.
θ = 15°cos(30°) = √3/2
sin(15°) = √[(1 − cos 30°) / 2] = √[(2 − √3) / 4] = (√6 − √2) / 4
→ sin(15°) ≈ 0.25882
هل كانت هذه الأداة مفيدة؟
الأسئلة الشائعة
كيف تعمل أداة متطابقات ضعف الزاوية ونصف الزاوية ومجموع زاويتين المثلثية أونلاين؟+
أدخل القيم المعروفة أو حرّك المؤشرات لحساب ومحاكاة متطابقات ضعف الزاوية ونصف الزاوية ومجموع زاويتين المثلثية وفق المعادلة sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ), cos(2θ) = cos²(θ) − sin²(θ) فوريًا داخل متصفحك. مرجع مثلثي متكامل لمتطابقات مجموع وفرق زاويتين وضعف الزاوية ونصف الزاوية وتخفيض القوى.
هل يمكنني تصدير أو طباعة نتائج متطابقات ضعف الزاوية ونصف الزاوية ومجموع زاويتين المثلثية؟+
نعم، تعمل الأداة بالكامل داخل المتصفح وتتيح نسخ النتائج أو طباعة ورقة العمل أو تنزيل مخططات عالية الدقة بصيغة SVG وPNG وCSV.
هل يمكنني مسح البيانات التجريبية في متطابقات ضعف الزاوية ونصف الزاوية ومجموع زاويتين المثلثية والبدء من الصفر؟+
نعم، انقر على زر المسح والبدء بصفحة فارغة أعلى الأداة لإدخال أرقامك الخاصة من البداية، أو أعد تحميل المثال التوضيحي في أي وقت.