04 // مجموعه تعاملی فرمول‌های علمی // قوانین هندسه اقلیدسی، تحلیلی، مقاطع مخروطی و مثلثاتd = 2R · arcsin( √[ sin²(Δφ/2) + cos(φ₁) cos(φ₂) sin²(Δλ/2) ] )
فرمول هاورساین (Haversine) — کوتاه‌ترین فاصله دایره عظیمه روی کره
محاسبه کوتاه‌ترین فاصله سطحی میان دو مختصات عرض و طول جغرافیایی روی کره‌ای به شعاع $R$ (شعاع میانگین زمین $R = 6,371\text{ km}$).
مرجع فرمول
فرمول اصلی
d = 2R · arcsin( √[ sin²(Δφ/2) + cos(φ₁) cos(φ₂) sin²(Δλ/2) ] )
فرم‌های بازآرایی‌شده
hav(θ) = sin²(θ / 2) = (1 − cos θ) / 2 (Haversine Function)
a = sin²(Δφ/2) + cos(φ₁) cos(φ₂) sin²(Δλ/2)
d = R · 2 atan2(√a, √(1 − a)) (Numerically Stable Form)
متغیرها و واحدها
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| d | Great-Circle Geodesic Distance (d) | km |
| lat1 | Origin Latitude φ₁ (degrees) | deg |
| lon1 | Origin Longitude λ₁ (degrees) | deg |
| lat2 | Destination Latitude φ₂ (degrees) | deg |
| lon2 | Destination Longitude λ₂ (degrees) | deg |
ورودی‌ها و پارامترها
[deg]
[deg]
[deg]
[deg]
نتیجه محاسبه (Great-Circle Geodesic Distance (d))
d =5,570.23km
توضیحات و پیشینه فرمول
- Start with the spherical law of cosines: cos(c) = sin(φ₁)sin(φ₂) + cos(φ₁)cos(φ₂)cos(Δλ), where c = d/R is the central angle.
- Replace cos(θ) with 1 − 2sin²(θ/2) = 1 − 2 hav(θ) to eliminate subtraction of nearly equal cosines at short distances.
- Solve for hav(d/R) = hav(Δφ) + cos(φ₁)cos(φ₂)hav(Δλ) and invert via d = 2R arcsin(√a).
مثال‌های حل‌شده گام‌به‌گام
#1: Calculate the great-circle flight distance from New York (40.7128°N, 74.0060°W) to London (51.5074°N, 0.1278°W).
φ₁ = 40.7128°, λ₁ = −74.0060°φ₂ = 51.5074°, λ₂ = −0.1278°R = 6,371.0 km
Δφ = 10.7946°, Δλ = 73.8782° ⇒ a = 0.18995 ⇒ c = 2 arcsin(√0.18995) = 0.87442 rad
→ d = 5,570.9 km (3,461.6 miles)
#2: Find the surface distance along the equator across Δλ = 1° of longitude (φ₁ = φ₂ = 0°).
φ₁ = 0°, φ₂ = 0°Δλ = 1°
d = 6371.0088 × (π / 180)
→ d = 111.195 km per degree of equatorial longitude
آیا این ابزار برای شما مفید بود؟
پرسش‌های متداول (FAQ)
ابزار آنلاین فرمول هاورساین (Haversine) — کوتاه‌ترین فاصله دایره عظیمه روی کره چگونه کار می‌کند؟+
مقادیر معلوم را وارد کنید یا لغزنده‌ها را تغییر دهید تا فرمول هاورساین (Haversine) — کوتاه‌ترین فاصله دایره عظیمه روی کره بر اساس رابطه d = 2R · arcsin( √[ sin²(Δφ/2) + cos(φ₁) cos(φ₂) sin²(Δλ/2) ] ) به‌صورت درجا در مرورگر شما محاسبه و ترسیم شود. محاسبه کوتاه‌ترین فاصله سطحی میان دو مختصات عرض و طول جغرافیایی روی کره‌ای به شعاع $R$ (شعاع میانگین زمین $R = 6,371\text{ km}$).
آیا می‌توانم نتایج و نمودارهای فرمول هاورساین (Haversine) — کوتاه‌ترین فاصله دایره عظیمه روی کره را دانلود یا چاپ کنم؟+
بله، می‌توانید به‌راحتی خروجی SVG، PNG، CSV دریافت کنید یا کاربرگ را چاپ نمایید.
آیا می‌توانم داده‌های نمونه را در فرمول هاورساین (Haversine) — کوتاه‌ترین فاصله دایره عظیمه روی کره پاک کنم و از صفحه خالی شروع کنم؟+
بله، با کلیک روی دکمه پاک‌سازی در بالای ابزار می‌توانید تمام ورودی‌ها را خالی کنید یا هر زمان دوباره داده‌های نمونه را بارگذاری نمایید.