04 // Интерактивный справочник формул // ЗАКОНЫ ЕВКЛИДОВОЙ, АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ТРИГОНОМЕТРИИd = 2R · arcsin( √[ sin²(Δφ/2) + cos(φ₁) cos(φ₂) sin²(Δλ/2) ] )

Формула гаверсинуса — кратчайшее расстояние по сфере (ортодромия)

Вычисляет кратчайшее расстояние по дуге большого круга между двумя географическими координатами широты и долготы на поверхности сферы (средний радиус Земли R = 6371 км).

Справочная карточка формулы

Основная формула

d = 2R · arcsin( √[ sin²(Δφ/2) + cos(φ₁) cos(φ₂) sin²(Δλ/2) ] )

Выраженные формы

hav(θ) = sin²(θ / 2) = (1 − cos θ) / 2 (Haversine Function)

a = sin²(Δφ/2) + cos(φ₁) cos(φ₂) sin²(Δλ/2)

d = R · 2 atan2(√a, √(1 − a)) (Numerically Stable Form)

Переменные и единицы

Переменные и единицы — Haversine Formula — Great-Circle Geodesic Distance on a Sphere
Symbol	Name	Unit
d	Great-Circle Geodesic Distance (d)	km
lat1	Origin Latitude φ₁ (degrees)	deg
lon1	Origin Longitude λ₁ (degrees)	deg
lat2	Destination Latitude φ₂ (degrees)	deg
lon2	Destination Longitude λ₂ (degrees)	deg

Исходные данные и параметры

lat1Origin Latitude φ₁ (degrees)[deg]

lon1Origin Longitude λ₁ (degrees)[deg]

lat2Destination Latitude φ₂ (degrees)[deg]

lon2Destination Longitude λ₂ (degrees)[deg]

Результат расчёта (Great-Circle Geodesic Distance (d))

d =5,570.23km

Пояснения и вывод формулы

Start with the spherical law of cosines: cos(c) = sin(φ₁)sin(φ₂) + cos(φ₁)cos(φ₂)cos(Δλ), where c = d/R is the central angle.
Replace cos(θ) with 1 − 2sin²(θ/2) = 1 − 2 hav(θ) to eliminate subtraction of nearly equal cosines at short distances.
Solve for hav(d/R) = hav(Δφ) + cos(φ₁)cos(φ₂)hav(Δλ) and invert via d = 2R arcsin(√a).

Примеры с подробным решением

#1: Calculate the great-circle flight distance from New York (40.7128°N, 74.0060°W) to London (51.5074°N, 0.1278°W).

φ₁ = 40.7128°, λ₁ = −74.0060°φ₂ = 51.5074°, λ₂ = −0.1278°R = 6,371.0 km

Δφ = 10.7946°, Δλ = 73.8782° ⇒ a = 0.18995 ⇒ c = 2 arcsin(√0.18995) = 0.87442 rad

→ d = 5,570.9 km (3,461.6 miles)

#2: Find the surface distance along the equator across Δλ = 1° of longitude (φ₁ = φ₂ = 0°).

φ₁ = 0°, φ₂ = 0°Δλ = 1°

d = 6371.0088 × (π / 180)

→ d = 111.195 km per degree of equatorial longitude

Был ли этот инструмент полезен?

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Как пользоваться онлайн-инструментом «Формула гаверсинуса — кратчайшее расстояние по сфере (ортодромия)»?+

Введите известные параметры или перемещайте ползунки для мгновенного расчёта Формула гаверсинуса — кратчайшее расстояние по сфере (ортодромия) по формуле d = 2R · arcsin( √[ sin²(Δφ/2) + cos(φ₁) cos(φ₂) sin²(Δλ/2) ] ) прямо в браузере. Вычисляет кратчайшее расстояние по дуге большого круга между двумя географическими координатами широты и долготы на поверхности сферы (средний радиус Земли R = 6371 км).

Можно ли скачать график или расчёт из «Формула гаверсинуса — кратчайшее расстояние по сфере (ортодромия)»?+

Да, все вычисления выполняются локально в браузере. Вы можете скачать векторный SVG, растровый PNG, таблицу CSV или распечатать лист с решением.

Можно ли очистить демонстрационные данные в «Формула гаверсинуса — кратчайшее расстояние по сфере (ортодромия)» и начать с нуля?+

Да. Нажмите кнопку очистки в верхней части инструмента, чтобы сбросить поля и ввести собственные данные с чистого листа, либо верните пример одним нажатием.