04 // 交互式科学公式百科 // 欧氏几何、解析几何、圆锥曲线与三角定律d = 2R · arcsin( √[ sin²(Δφ/2) + cos(φ₁) cos(φ₂) sin²(Δλ/2) ] )
半正矢公式 (Haversine) — 地球经纬度球面大圆最短距离
根据两地经纬度坐标与球体半径 R（地球平均半径 6,371 公里），精确计算球面两点间的最短航线距离。
公式速查卡
核心公式
d = 2R · arcsin( √[ sin²(Δφ/2) + cos(φ₁) cos(φ₂) sin²(Δλ/2) ] )
变形公式
hav(θ) = sin²(θ / 2) = (1 − cos θ) / 2 (Haversine Function)
a = sin²(Δφ/2) + cos(φ₁) cos(φ₂) sin²(Δλ/2)
d = R · 2 atan2(√a, √(1 − a)) (Numerically Stable Form)
变量说明与单位
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| d | Great-Circle Geodesic Distance (d) | km |
| lat1 | Origin Latitude φ₁ (degrees) | deg |
| lon1 | Origin Longitude λ₁ (degrees) | deg |
| lat2 | Destination Latitude φ₂ (degrees) | deg |
| lon2 | Destination Longitude λ₂ (degrees) | deg |
输入数值与参数
[deg]
[deg]
[deg]
[deg]
计算结果 (Great-Circle Geodesic Distance (d))
d =5,570.23km
公式说明与推导背景
- Start with the spherical law of cosines: cos(c) = sin(φ₁)sin(φ₂) + cos(φ₁)cos(φ₂)cos(Δλ), where c = d/R is the central angle.
- Replace cos(θ) with 1 − 2sin²(θ/2) = 1 − 2 hav(θ) to eliminate subtraction of nearly equal cosines at short distances.
- Solve for hav(d/R) = hav(Δφ) + cos(φ₁)cos(φ₂)hav(Δλ) and invert via d = 2R arcsin(√a).
分步计算实例
#1: Calculate the great-circle flight distance from New York (40.7128°N, 74.0060°W) to London (51.5074°N, 0.1278°W).
φ₁ = 40.7128°, λ₁ = −74.0060°φ₂ = 51.5074°, λ₂ = −0.1278°R = 6,371.0 km
Δφ = 10.7946°, Δλ = 73.8782° ⇒ a = 0.18995 ⇒ c = 2 arcsin(√0.18995) = 0.87442 rad
→ d = 5,570.9 km (3,461.6 miles)
#2: Find the surface distance along the equator across Δλ = 1° of longitude (φ₁ = φ₂ = 0°).
φ₁ = 0°, φ₂ = 0°Δλ = 1°
d = 6371.0088 × (π / 180)
→ d = 111.195 km per degree of equatorial longitude
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