04 // مجموعه تعاملی فرمول‌های علمی // فرمول‌های توزیع‌های آماری، رگرسیون و آنتروپی اطلاعاتr = Cov(X, Y) / (s_X · s_Y), β₁ = r · (s_Y / s_X)
فرمول ضریب همبستگی پیرسون و شیب رگرسیون خطی OLS
اندازه‌گیری همبستگی خطی بی‌بعد $r \in [-1, +1]$ و استخراج ضرایب خط رگرسیون با کمترین مجموع مربعات خطا.
مرجع فرمول
فرمول اصلی
r = Cov(X, Y) / (s_X · s_Y), β₁ = r · (s_Y / s_X)
فرم‌های بازآرایی‌شده
β₀ = ȳ − β₁ · x̄
R² = 1 − (SS_res / SS_tot)
متغیرها و واحدها
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| b1 | OLS Regression Slope β₁ | ΔY / ΔX |
| r | Pearson Correlation r | −1 to +1 |
| sy | Sample Std Dev s_Y | Y units |
| sx | Sample Std Dev s_X | X units |
ورودی‌ها و پارامترها
[−1 to +1]
[Y units]
[X units]
نتیجه محاسبه (OLS Regression Slope β₁)
b1 =2.46ΔY / ΔX
توضیحات و پیشینه فرمول
- Setting partial derivatives ∂/∂β₀ and ∂/∂β₁ of S(β₀,β₁) = ∑(y_i − β₀ − β₁x_i)² to zero yields the normal equations: ȳ = β₀ + β₁x̄ and β₁ = S_xy / S_xx.
- In simple bivariate linear regression, the coefficient of determination R² equals the square of Pearson's r.
مثال‌های حل‌شده گام‌به‌گام
#1: Study hours X (s_X = 6.0 hr) vs. exam score Y (s_Y = 18.0 pts) with observed correlation r = 0.82.
r = 0.82s_Y = 18.0s_X = 6.0
β₁ = 0.82 × (18.0 / 6.0) = 0.82 × 3.0; R² = 0.82²
→ Slope β₁ = +2.46 pts/hr; R² = 0.6724 (67.2% variance explained)
#2: Regression to the mean: if a student scores +2σ above mean on X with r = 0.60, what is expected Z_Y?
Z_X = +2.0r = 0.60
E[Z_Y | Z_X] = r · Z_X = 0.60 × 2.0
→ Z_Y = +1.20 standard deviations
آیا این ابزار برای شما مفید بود؟
پرسش‌های متداول (FAQ)
ابزار آنلاین فرمول ضریب همبستگی پیرسون و شیب رگرسیون خطی OLS چگونه کار می‌کند؟+
مقادیر معلوم را وارد کنید یا لغزنده‌ها را تغییر دهید تا فرمول ضریب همبستگی پیرسون و شیب رگرسیون خطی OLS بر اساس رابطه r = Cov(X, Y) / (s_X · s_Y), β₁ = r · (s_Y / s_X) به‌صورت درجا در مرورگر شما محاسبه و ترسیم شود. اندازه‌گیری همبستگی خطی بی‌بعد $r \in [-1, +1]$ و استخراج ضرایب خط رگرسیون با کمترین مجموع مربعات خطا.
آیا می‌توانم نتایج و نمودارهای فرمول ضریب همبستگی پیرسون و شیب رگرسیون خطی OLS را دانلود یا چاپ کنم؟+
بله، می‌توانید به‌راحتی خروجی SVG، PNG، CSV دریافت کنید یا کاربرگ را چاپ نمایید.
آیا می‌توانم داده‌های نمونه را در فرمول ضریب همبستگی پیرسون و شیب رگرسیون خطی OLS پاک کنم و از صفحه خالی شروع کنم؟+
بله، با کلیک روی دکمه پاک‌سازی در بالای ابزار می‌توانید تمام ورودی‌ها را خالی کنید یا هر زمان دوباره داده‌های نمونه را بارگذاری نمایید.