04 // इंटरएक्टिव सूत्र संकलन // सांख्यिकीय वितरण, प्रतिगमन और एन्ट्रॉपी सूत्रr = Cov(X, Y) / (s_X · s_Y), β₁ = r · (s_Y / s_X)
पियर्सन सहसंबंध और OLS रैखिक प्रतिगमन ढलान सूत्र
दो चरों के बीच [−1, +1] के दायरे में रैखिक संबंध की मज़बूती मापता है और सर्वोत्तम फ़िट रेखा की ढलान व अंतःखंड निकालता है।
सूत्र संदर्भ
मुख्य सूत्र
r = Cov(X, Y) / (s_X · s_Y), β₁ = r · (s_Y / s_X)
अन्य रूप
β₀ = ȳ − β₁ · x̄
R² = 1 − (SS_res / SS_tot)
चर और इकाइयाँ
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| b1 | OLS Regression Slope β₁ | ΔY / ΔX |
| r | Pearson Correlation r | −1 to +1 |
| sy | Sample Std Dev s_Y | Y units |
| sx | Sample Std Dev s_X | X units |
इनपुट और मान
[−1 to +1]
[Y units]
[X units]
गणना का परिणाम (OLS Regression Slope β₁)
b1 =2.46ΔY / ΔX
सूत्र की जानकारी और आधार
- Setting partial derivatives ∂/∂β₀ and ∂/∂β₁ of S(β₀,β₁) = ∑(y_i − β₀ − β₁x_i)² to zero yields the normal equations: ȳ = β₀ + β₁x̄ and β₁ = S_xy / S_xx.
- In simple bivariate linear regression, the coefficient of determination R² equals the square of Pearson's r.
हल किए गए उदाहरण
#1: Study hours X (s_X = 6.0 hr) vs. exam score Y (s_Y = 18.0 pts) with observed correlation r = 0.82.
r = 0.82s_Y = 18.0s_X = 6.0
β₁ = 0.82 × (18.0 / 6.0) = 0.82 × 3.0; R² = 0.82²
→ Slope β₁ = +2.46 pts/hr; R² = 0.6724 (67.2% variance explained)
#2: Regression to the mean: if a student scores +2σ above mean on X with r = 0.60, what is expected Z_Y?
Z_X = +2.0r = 0.60
E[Z_Y | Z_X] = r · Z_X = 0.60 × 2.0
→ Z_Y = +1.20 standard deviations
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अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
पियर्सन सहसंबंध और OLS रैखिक प्रतिगमन ढलान सूत्र ऑनलाइन टूल कैसे काम करता है?+
अपने मान दर्ज करें या स्लाइडर समायोजित करें—यह टूल आपके ब्राउज़र में तुरंत पियर्सन सहसंबंध और OLS रैखिक प्रतिगमन ढलान सूत्र (सूत्र: r = Cov(X, Y) / (s_X · s_Y), β₁ = r · (s_Y / s_X)) की गणना और विज़ुअलाइज़ेशन करता है। दो चरों के बीच [−1, +1] के दायरे में रैखिक संबंध की मज़बूती मापता है और सर्वोत्तम फ़िट रेखा की ढलान व अंतःखंड निकालता है।
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हाँ, आप तुरंत उच्च-रिज़ॉल्यूशन SVG, PNG, CSV डाउनलोड कर सकते हैं या वर्कशीट प्रिंट कर सकते हैं।
क्या मैं पियर्सन सहसंबंध और OLS रैखिक प्रतिगमन ढलान सूत्र में उदाहरण डेटा साफ़ करके शून्य से शुरू कर सकता हूँ?+
हाँ, टूल के ऊपर दिए गए क्लीयर बटन पर क्लिक करके आप सभी इनपुट खाली कर सकते हैं और कभी भी सैंपल डेटा वापस लोड कर सकते हैं।