04 // インタラクティブ数式・公式辞典 // 確率分布・回帰分析・情報エントロピーの公式集r = Cov(X, Y) / (s_X · s_Y), β₁ = r · (s_Y / s_X)
ピアソンの積率相関係数と最小二乗法（OLS）回帰直線の公式
2変数間の直線的な結びつきの強さ r ∈ [−1, +1] を測る相関係数と、残差平方和を最小にする回帰直線の傾き・切片を求める公式です。
公式リファレンス
基本公式
r = Cov(X, Y) / (s_X · s_Y), β₁ = r · (s_Y / s_X)
変形した式
β₀ = ȳ − β₁ · x̄
R² = 1 − (SS_res / SS_tot)
変数と単位
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| b1 | OLS Regression Slope β₁ | ΔY / ΔX |
| r | Pearson Correlation r | −1 to +1 |
| sy | Sample Std Dev s_Y | Y units |
| sx | Sample Std Dev s_X | X units |
入力値・パラメータ
[−1 to +1]
[Y units]
[X units]
計算結果 (OLS Regression Slope β₁)
b1 =2.46ΔY / ΔX
公式の解説・背景
- Setting partial derivatives ∂/∂β₀ and ∂/∂β₁ of S(β₀,β₁) = ∑(y_i − β₀ − β₁x_i)² to zero yields the normal equations: ȳ = β₀ + β₁x̄ and β₁ = S_xy / S_xx.
- In simple bivariate linear regression, the coefficient of determination R² equals the square of Pearson's r.
具体的な計算例
#1: Study hours X (s_X = 6.0 hr) vs. exam score Y (s_Y = 18.0 pts) with observed correlation r = 0.82.
r = 0.82s_Y = 18.0s_X = 6.0
β₁ = 0.82 × (18.0 / 6.0) = 0.82 × 3.0; R² = 0.82²
→ Slope β₁ = +2.46 pts/hr; R² = 0.6724 (67.2% variance explained)
#2: Regression to the mean: if a student scores +2σ above mean on X with r = 0.60, what is expected Z_Y?
Z_X = +2.0r = 0.60
E[Z_Y | Z_X] = r · Z_X = 0.60 × 2.0
→ Z_Y = +1.20 standard deviations
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よくある質問（FAQ）
ピアソンの積率相関係数と最小二乗法（OLS）回帰直線の公式の使い方は？+
数値を入力するかスライダーを動かすだけで、ピアソンの積率相関係数と最小二乗法（OLS）回帰直線の公式（数式: r = Cov(X, Y) / (s_X · s_Y), β₁ = r · (s_Y / s_X)）をブラウザ上で即座に計算・視覚化できます。2変数間の直線的な結びつきの強さ r ∈ [−1, +1] を測る相関係数と、残差平方和を最小にする回帰直線の傾き・切片を求める公式です。
ピアソンの積率相関係数と最小二乗法（OLS）回帰直線の公式の計算結果やグラフは保存できますか？+
はい。計算結果のワンクリックコピーに加え、高解像度のSVG・PNG画像、CSVデータ、印刷用ワークシートとして即座に出力できます。
ピアソンの積率相関係数と最小二乗法（OLS）回帰直線の公式のサンプルデータを消去して白紙から入力できますか？+
はい。ツール上部のクリア（白紙から開始）ボタンを押すとすべての入力欄がリセットされ、いつでもサンプルデータを再読み込みできます。