04 // انٹرایکٹو فارمولا مجموعہ // شماریاتی تقسیم، ریگریشن اور اینٹروپی کے کلیاتr = Cov(X, Y) / (s_X · s_Y), β₁ = r · (s_Y / s_X)
پیئرسن ارتباط اور OLS لینیئر ریگریشن ڈھلوان کا کلیہ
دو متغیرات کے درمیان خطی تعلق r ∈ [−1, +1] کو ناپتا ہے اور بہترین فٹ ہونے والی ریگریشن لائن کے عددی سر نکالتا ہے۔
فارمولا حوالہ
بنیادی فارمولا
r = Cov(X, Y) / (s_X · s_Y), β₁ = r · (s_Y / s_X)
متبادل شکلیں
β₀ = ȳ − β₁ · x̄
R² = 1 − (SS_res / SS_tot)
متغیرات اور اکائیاں
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| b1 | OLS Regression Slope β₁ | ΔY / ΔX |
| r | Pearson Correlation r | −1 to +1 |
| sy | Sample Std Dev s_Y | Y units |
| sx | Sample Std Dev s_X | X units |
ان پٹ اور پیرامیٹرز
[−1 to +1]
[Y units]
[X units]
حساب کا نتیجہ (OLS Regression Slope β₁)
b1 =2.46ΔY / ΔX
فارمولے کی وضاحت اور نوٹس
- Setting partial derivatives ∂/∂β₀ and ∂/∂β₁ of S(β₀,β₁) = ∑(y_i − β₀ − β₁x_i)² to zero yields the normal equations: ȳ = β₀ + β₁x̄ and β₁ = S_xy / S_xx.
- In simple bivariate linear regression, the coefficient of determination R² equals the square of Pearson's r.
حل شدہ مثالیں
#1: Study hours X (s_X = 6.0 hr) vs. exam score Y (s_Y = 18.0 pts) with observed correlation r = 0.82.
r = 0.82s_Y = 18.0s_X = 6.0
β₁ = 0.82 × (18.0 / 6.0) = 0.82 × 3.0; R² = 0.82²
→ Slope β₁ = +2.46 pts/hr; R² = 0.6724 (67.2% variance explained)
#2: Regression to the mean: if a student scores +2σ above mean on X with r = 0.60, what is expected Z_Y?
Z_X = +2.0r = 0.60
E[Z_Y | Z_X] = r · Z_X = 0.60 × 2.0
→ Z_Y = +1.20 standard deviations
کیا یہ ٹول آپ کے لیے مددگار ثابت ہوا؟
اکثر پوچھے گئے سوالات (FAQ)
پیئرسن ارتباط اور OLS لینیئر ریگریشن ڈھلوان کا کلیہ آن لائن ٹول کیسے کام کرتا ہے؟+
معلوم قیمتیں درج کریں یا سلائیڈر حرکت دیں تاکہ آپ کے براؤزر میں فوری طور پر پیئرسن ارتباط اور OLS لینیئر ریگریشن ڈھلوان کا کلیہ (مساوات: r = Cov(X, Y) / (s_X · s_Y), β₁ = r · (s_Y / s_X)) کا حساب اور بصری تجزیہ ہو سکے۔ دو متغیرات کے درمیان خطی تعلق r ∈ [−1, +1] کو ناپتا ہے اور بہترین فٹ ہونے والی ریگریشن لائن کے عددی سر نکالتا ہے۔
کیا میں پیئرسن ارتباط اور OLS لینیئر ریگریشن ڈھلوان کا کلیہ کے نتائج ڈاؤن لوڈ یا پرنٹ کر سکتا ہوں؟+
جی ہاں، آپ فوری طور پر SVG، PNG، CSV ڈاؤن لوڈ کر سکتے ہیں یا ورک شیٹ پرنٹ کر سکتے ہیں۔
کیا میں پیئرسن ارتباط اور OLS لینیئر ریگریشن ڈھلوان کا کلیہ میں نمونہ ڈیٹا صاف کر کے نئے سرے سے آغاز کر سکتا ہوں؟+
جی ہاں، ٹول کے اوپر موجود کلیئر بٹن پر کلک کر کے تمام خانے خالی کیے جا سکتے ہیں اور کسی بھی وقت نمونہ ڈیٹا دوبارہ لوڈ کیا جا سکتا ہے۔