04 // موسوعة المعادلات التفاعلية // قوانين التوزيعات الإحصائية والانحدار وإنتروبيا المعلوماتr = Cov(X, Y) / (s_X · s_Y), β₁ = r · (s_Y / s_X)
صيغة معامل ارتباط بيرسون وميل الانحدار الخطي OLS
تقيس قوة واتجاه العلاقة الخطية $r \in [-1, +1]$ وتشتق معاملات خط الانحدار الأفضل تمثيلاً للبيانات.
مرجع المعادلة
المعادلة الأساسية
r = Cov(X, Y) / (s_X · s_Y), β₁ = r · (s_Y / s_X)
الصيغ البديلة
β₀ = ȳ − β₁ · x̄
R² = 1 − (SS_res / SS_tot)
المتغيرات والوحدات
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| b1 | OLS Regression Slope β₁ | ΔY / ΔX |
| r | Pearson Correlation r | −1 to +1 |
| sy | Sample Std Dev s_Y | Y units |
| sx | Sample Std Dev s_X | X units |
المدخلات والمعاملات
[−1 to +1]
[Y units]
[X units]
النتيجة المحسوبة (OLS Regression Slope β₁)
b1 =2.46ΔY / ΔX
شرح المعادلة وملاحظاتها
- Setting partial derivatives ∂/∂β₀ and ∂/∂β₁ of S(β₀,β₁) = ∑(y_i − β₀ − β₁x_i)² to zero yields the normal equations: ȳ = β₀ + β₁x̄ and β₁ = S_xy / S_xx.
- In simple bivariate linear regression, the coefficient of determination R² equals the square of Pearson's r.
أمثلة محلولة خطوة بخطوة
#1: Study hours X (s_X = 6.0 hr) vs. exam score Y (s_Y = 18.0 pts) with observed correlation r = 0.82.
r = 0.82s_Y = 18.0s_X = 6.0
β₁ = 0.82 × (18.0 / 6.0) = 0.82 × 3.0; R² = 0.82²
→ Slope β₁ = +2.46 pts/hr; R² = 0.6724 (67.2% variance explained)
#2: Regression to the mean: if a student scores +2σ above mean on X with r = 0.60, what is expected Z_Y?
Z_X = +2.0r = 0.60
E[Z_Y | Z_X] = r · Z_X = 0.60 × 2.0
→ Z_Y = +1.20 standard deviations
هل كانت هذه الأداة مفيدة؟
الأسئلة الشائعة
كيف تعمل أداة صيغة معامل ارتباط بيرسون وميل الانحدار الخطي OLS أونلاين؟+
أدخل القيم المعروفة أو حرّك المؤشرات لحساب ومحاكاة صيغة معامل ارتباط بيرسون وميل الانحدار الخطي OLS وفق المعادلة r = Cov(X, Y) / (s_X · s_Y), β₁ = r · (s_Y / s_X) فوريًا داخل متصفحك. تقيس قوة واتجاه العلاقة الخطية $r \in [-1, +1]$ وتشتق معاملات خط الانحدار الأفضل تمثيلاً للبيانات.
هل يمكنني تصدير أو طباعة نتائج صيغة معامل ارتباط بيرسون وميل الانحدار الخطي OLS؟+
نعم، تعمل الأداة بالكامل داخل المتصفح وتتيح نسخ النتائج أو طباعة ورقة العمل أو تنزيل مخططات عالية الدقة بصيغة SVG وPNG وCSV.
هل يمكنني مسح البيانات التجريبية في صيغة معامل ارتباط بيرسون وميل الانحدار الخطي OLS والبدء من الصفر؟+
نعم، انقر على زر المسح والبدء بصفحة فارغة أعلى الأداة لإدخال أرقامك الخاصة من البداية، أو أعد تحميل المثال التوضيحي في أي وقت.