04 // ইন্টারঅ্যাক্টিভ সূত্র সংকলন // পরিসংখ্যানগত বণ্টন, রিগ্রেশন ও এনট্রপি সূত্রাবলিr = Cov(X, Y) / (s_X · s_Y), β₁ = r · (s_Y / s_X)
পিয়ারসন সংশ্লেষ ও OLS রৈখিক রিগ্রেশন ঢাল সূত্র
দুই চলকের মাত্রাহীন রৈখিক সম্পর্ক r ∈ [−1, +1] পরিমাপ করে এবং ন্যূনতম বর্গ ত্রুটির রৈখিক রিগ্রেশন সহগ নির্ণয় করে।
সূত্র পরিচিতি
মূল সূত্র
r = Cov(X, Y) / (s_X · s_Y), β₁ = r · (s_Y / s_X)
রূপান্তরিত সূত্র
β₀ = ȳ − β₁ · x̄
R² = 1 − (SS_res / SS_tot)
চলক ও একক
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| b1 | OLS Regression Slope β₁ | ΔY / ΔX |
| r | Pearson Correlation r | −1 to +1 |
| sy | Sample Std Dev s_Y | Y units |
| sx | Sample Std Dev s_X | X units |
ইনপুট ও প্যারামিটার
[−1 to +1]
[Y units]
[X units]
গণনার ফলাফল (OLS Regression Slope β₁)
b1 =2.46ΔY / ΔX
সূত্রের ব্যাখ্যা ও নোট
- Setting partial derivatives ∂/∂β₀ and ∂/∂β₁ of S(β₀,β₁) = ∑(y_i − β₀ − β₁x_i)² to zero yields the normal equations: ȳ = β₀ + β₁x̄ and β₁ = S_xy / S_xx.
- In simple bivariate linear regression, the coefficient of determination R² equals the square of Pearson's r.
সমাধানসহ উদাহরণ
#1: Study hours X (s_X = 6.0 hr) vs. exam score Y (s_Y = 18.0 pts) with observed correlation r = 0.82.
r = 0.82s_Y = 18.0s_X = 6.0
β₁ = 0.82 × (18.0 / 6.0) = 0.82 × 3.0; R² = 0.82²
→ Slope β₁ = +2.46 pts/hr; R² = 0.6724 (67.2% variance explained)
#2: Regression to the mean: if a student scores +2σ above mean on X with r = 0.60, what is expected Z_Y?
Z_X = +2.0r = 0.60
E[Z_Y | Z_X] = r · Z_X = 0.60 × 2.0
→ Z_Y = +1.20 standard deviations
এই টুলটি কি আপনার কাজে লেগেছে?
সচরাচর জিজ্ঞাসিত প্রশ্নাবলী (FAQ)
পিয়ারসন সংশ্লেষ ও OLS রৈখিক রিগ্রেশন ঢাল সূত্র অনলাইন টুলটি কীভাবে কাজ করে?+
প্রদত্ত মানগুলো ইনপুট দিন অথবা স্লাইডার পরিবর্তন করুন—এই টুলটি ব্রাউজারে তাৎক্ষণিকভাবে পিয়ারসন সংশ্লেষ ও OLS রৈখিক রিগ্রেশন ঢাল সূত্র (r = Cov(X, Y) / (s_X · s_Y), β₁ = r · (s_Y / s_X) সূত্র অনুযায়ী) গণনা ও প্রদর্শন করে। দুই চলকের মাত্রাহীন রৈখিক সম্পর্ক r ∈ [−1, +1] পরিমাপ করে এবং ন্যূনতম বর্গ ত্রুটির রৈখিক রিগ্রেশন সহগ নির্ণয় করে।
আমি কি পিয়ারসন সংশ্লেষ ও OLS রৈখিক রিগ্রেশন ঢাল সূত্র থেকে ফলাফল বা চার্ট ডাউনলোড করতে পারব?+
হ্যাঁ, আপনি তাৎক্ষণিকভাবে SVG, PNG, CSV ডাউনলোড বা ওয়ার্কশিট প্রিন্ট করতে পারবেন।
আমি কি পিয়ারসন সংশ্লেষ ও OLS রৈখিক রিগ্রেশন ঢাল সূত্র-এর নমুনা ডেটা মুছে নতুন করে শুরু করতে পারি?+
হ্যাঁ, টুলের উপরের ক্লিয়ার বোতামে ক্লিক করে সম্পূর্ণ ফাঁকা অবস্থায় নিজের মান বসাতে পারবেন এবং যেকোনো সময় নমুনা ডেটা ফিরিয়ে আনতে পারবেন।