04 // مجموعه تعاملی فرمول‌های علمی // فرمول‌های حساب دیفرانسیل و انتگرال، سری‌ها و اتحادهای جبریS_n = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r), S_∞ = a₁ / (1 − r) (|r| < 1)
فرمول مجموع دنباله هندسی و سری هندسی نامتناهی
فرمول بسته مجموع $n$ جمله اول یک تصاعد هندسی با قدر نسبت $r$، به همراه مجموع سری نامتناهی همگرا برای $|r| < 1$.
مرجع فرمول
فرمول اصلی
S_n = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r), S_∞ = a₁ / (1 − r) (|r| < 1)
فرم‌های بازآرایی‌شده
a_n = a₁ · rⁿ⁻¹ (n-th Term of Geometric Sequence)
r = a_{k+1} / a_k (Common Ratio)
G = √(a_{k−1} · a_{k+1}) (Geometric Mean of Neighbors)
متغیرها و واحدها
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| S_n | Finite Geometric Series Sum (S_n) | dimensionless |
| a1 | First Term (a₁) | 1 |
| r | Common Ratio (r) | 1 |
| n | Number of Terms (n) | integer |
ورودی‌ها و پارامترها
[1]
[1]
[integer]
نتیجه محاسبه (Finite Geometric Series Sum (S_n))
S_n =199.8047dimensionless
توضیحات و پیشینه فرمول
- Write S_n = a₁ + a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ⁻¹ and multiply both sides by r: rS_n = a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ.
- Subtract the second equation from the first so all interior terms telescope: S_n(1 − r) = a₁ − a₁rⁿ.
- Divide by (1 − r) for r ≠ 1; if |r| < 1, taking lim_{n→∞} rⁿ = 0 gives S_∞ = a₁ / (1 − r).
مثال‌های حل‌شده گام‌به‌گام
#1: Find the sum of the first 10 terms of 100 + 50 + 25 + 12.5 + …
a₁ = 100r = 0.5n = 10
S₁₀ = 100 × (1 − 0.5¹⁰) / (1 − 0.5) = 200 × (1 − 1/1024)
→ S₁₀ = 199.8047 (and S_∞ = 100 / 0.5 = 200)
#2: Convert the repeating decimal 0.363636… into an exact fraction.
a₁ = 0.36r = 0.01n → ∞
S_∞ = 0.36 / (1 − 0.01) = 0.36 / 0.99 = 36 / 99
→ 4 / 11
آیا این ابزار برای شما مفید بود؟
پرسش‌های متداول (FAQ)
ابزار آنلاین فرمول مجموع دنباله هندسی و سری هندسی نامتناهی چگونه کار می‌کند؟+
مقادیر معلوم را وارد کنید یا لغزنده‌ها را تغییر دهید تا فرمول مجموع دنباله هندسی و سری هندسی نامتناهی بر اساس رابطه S_n = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r), S_∞ = a₁ / (1 − r) (|r| < 1) به‌صورت درجا در مرورگر شما محاسبه و ترسیم شود. فرمول بسته مجموع $n$ جمله اول یک تصاعد هندسی با قدر نسبت $r$، به همراه مجموع سری نامتناهی همگرا برای $|r| < 1$.
آیا می‌توانم نتایج و نمودارهای فرمول مجموع دنباله هندسی و سری هندسی نامتناهی را دانلود یا چاپ کنم؟+
بله، می‌توانید به‌راحتی خروجی SVG، PNG، CSV دریافت کنید یا کاربرگ را چاپ نمایید.
آیا می‌توانم داده‌های نمونه را در فرمول مجموع دنباله هندسی و سری هندسی نامتناهی پاک کنم و از صفحه خالی شروع کنم؟+
بله، با کلیک روی دکمه پاک‌سازی در بالای ابزار می‌توانید تمام ورودی‌ها را خالی کنید یا هر زمان دوباره داده‌های نمونه را بارگذاری نمایید.