04 // ইন্টারঅ্যাক্টিভ সূত্র সংকলন // ক্যালকুলাস, ধারা ও বীজগাণিতিক অভেদ শিটS_n = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r), S_∞ = a₁ / (1 − r) (|r| < 1)
গুণোত্তর অনুক্রম ও অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টি সূত্র
সাধারণ অনুপাত r বিশিষ্ট গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি এবং |r| < 1 শর্তে অসীম ধারার অভিসারী সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র।
সূত্র পরিচিতি
মূল সূত্র
S_n = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r), S_∞ = a₁ / (1 − r) (|r| < 1)
রূপান্তরিত সূত্র
a_n = a₁ · rⁿ⁻¹ (n-th Term of Geometric Sequence)
r = a_{k+1} / a_k (Common Ratio)
G = √(a_{k−1} · a_{k+1}) (Geometric Mean of Neighbors)
চলক ও একক
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| S_n | Finite Geometric Series Sum (S_n) | dimensionless |
| a1 | First Term (a₁) | 1 |
| r | Common Ratio (r) | 1 |
| n | Number of Terms (n) | integer |
ইনপুট ও প্যারামিটার
[1]
[1]
[integer]
গণনার ফলাফল (Finite Geometric Series Sum (S_n))
S_n =199.8047dimensionless
সূত্রের ব্যাখ্যা ও নোট
- Write S_n = a₁ + a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ⁻¹ and multiply both sides by r: rS_n = a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ.
- Subtract the second equation from the first so all interior terms telescope: S_n(1 − r) = a₁ − a₁rⁿ.
- Divide by (1 − r) for r ≠ 1; if |r| < 1, taking lim_{n→∞} rⁿ = 0 gives S_∞ = a₁ / (1 − r).
সমাধানসহ উদাহরণ
#1: Find the sum of the first 10 terms of 100 + 50 + 25 + 12.5 + …
a₁ = 100r = 0.5n = 10
S₁₀ = 100 × (1 − 0.5¹⁰) / (1 − 0.5) = 200 × (1 − 1/1024)
→ S₁₀ = 199.8047 (and S_∞ = 100 / 0.5 = 200)
#2: Convert the repeating decimal 0.363636… into an exact fraction.
a₁ = 0.36r = 0.01n → ∞
S_∞ = 0.36 / (1 − 0.01) = 0.36 / 0.99 = 36 / 99
→ 4 / 11
এই টুলটি কি আপনার কাজে লেগেছে?
সচরাচর জিজ্ঞাসিত প্রশ্নাবলী (FAQ)
গুণোত্তর অনুক্রম ও অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টি সূত্র অনলাইন টুলটি কীভাবে কাজ করে?+
প্রদত্ত মানগুলো ইনপুট দিন অথবা স্লাইডার পরিবর্তন করুন—এই টুলটি ব্রাউজারে তাৎক্ষণিকভাবে গুণোত্তর অনুক্রম ও অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টি সূত্র (S_n = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r), S_∞ = a₁ / (1 − r) (|r| < 1) সূত্র অনুযায়ী) গণনা ও প্রদর্শন করে। সাধারণ অনুপাত r বিশিষ্ট গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি এবং |r| < 1 শর্তে অসীম ধারার অভিসারী সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র।
আমি কি গুণোত্তর অনুক্রম ও অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টি সূত্র থেকে ফলাফল বা চার্ট ডাউনলোড করতে পারব?+
হ্যাঁ, আপনি তাৎক্ষণিকভাবে SVG, PNG, CSV ডাউনলোড বা ওয়ার্কশিট প্রিন্ট করতে পারবেন।
আমি কি গুণোত্তর অনুক্রম ও অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টি সূত্র-এর নমুনা ডেটা মুছে নতুন করে শুরু করতে পারি?+
হ্যাঁ, টুলের উপরের ক্লিয়ার বোতামে ক্লিক করে সম্পূর্ণ ফাঁকা অবস্থায় নিজের মান বসাতে পারবেন এবং যেকোনো সময় নমুনা ডেটা ফিরিয়ে আনতে পারবেন।