04 // Compêndio Interativo de Fórmulas // FÓRMULAS DE CÁLCULO, SÉRIES E IDENTIDADES ALGÉBRICASS_n = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r), S_∞ = a₁ / (1 − r) (|r| < 1)

Fórmula da Soma da Progressão Geométrica (PG) Finita e Infinita

Obtém a soma fechada de n termos em uma progressão geométrica de razão r, além da soma infinita convergente quando |r| < 1.

Referência da fórmula

Fórmula principal

S_n = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r), S_∞ = a₁ / (1 − r) (|r| < 1)

Formas isoladas

a_n = a₁ · rⁿ⁻¹ (n-th Term of Geometric Sequence)

r = a_{k+1} / a_k (Common Ratio)

G = √(a_{k−1} · a_{k+1}) (Geometric Mean of Neighbors)

Variáveis e unidades

Variáveis e unidades — Geometric Sequence & Infinite Geometric Series Sum Formula
Symbol	Name	Unit
S_n	Finite Geometric Series Sum (S_n)	dimensionless
a1	First Term (a₁)	1
r	Common Ratio (r)	1
n	Number of Terms (n)	integer

Entradas e parâmetros

a1First Term (a₁)[1]

rCommon Ratio (r)[1]

nNumber of Terms (n)[integer]

Resultado calculado (Finite Geometric Series Sum (S_n))

S_n =199.8047dimensionless

Notas e explicação da fórmula

Write S_n = a₁ + a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ⁻¹ and multiply both sides by r: rS_n = a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ.
Subtract the second equation from the first so all interior terms telescope: S_n(1 − r) = a₁ − a₁rⁿ.
Divide by (1 − r) for r ≠ 1; if |r| < 1, taking lim_{n→∞} rⁿ = 0 gives S_∞ = a₁ / (1 − r).

Exemplos resolvidos

#1: Find the sum of the first 10 terms of 100 + 50 + 25 + 12.5 + …

a₁ = 100r = 0.5n = 10

S₁₀ = 100 × (1 − 0.5¹⁰) / (1 − 0.5) = 200 × (1 − 1/1024)

→ S₁₀ = 199.8047 (and S_∞ = 100 / 0.5 = 200)

#2: Convert the repeating decimal 0.363636… into an exact fraction.

a₁ = 0.36r = 0.01n → ∞

S_∞ = 0.36 / (1 − 0.01) = 0.36 / 0.99 = 36 / 99

→ 4 / 11

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Perguntas Frequentes (FAQ)

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