04 // इंटरएक्टिव सूत्र संकलन // कैलकुलस, श्रेणी विस्तार और बीजगणितीय सर्वसमिका सूत्रS_n = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r), S_∞ = a₁ / (1 − r) (|r| < 1)
गुणोत्तर श्रेणी (GP) और अनंत गुणोत्तर श्रेणी योग सूत्र
सार्व अनुपात r वाली गुणोत्तर श्रेणी के n पदों का योग और |r| < 1 होने पर अनंत पदों के अभिसारी योग का सूत्र।
सूत्र संदर्भ
मुख्य सूत्र
S_n = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r), S_∞ = a₁ / (1 − r) (|r| < 1)
अन्य रूप
a_n = a₁ · rⁿ⁻¹ (n-th Term of Geometric Sequence)
r = a_{k+1} / a_k (Common Ratio)
G = √(a_{k−1} · a_{k+1}) (Geometric Mean of Neighbors)
चर और इकाइयाँ
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| S_n | Finite Geometric Series Sum (S_n) | dimensionless |
| a1 | First Term (a₁) | 1 |
| r | Common Ratio (r) | 1 |
| n | Number of Terms (n) | integer |
इनपुट और मान
[1]
[1]
[integer]
गणना का परिणाम (Finite Geometric Series Sum (S_n))
S_n =199.8047dimensionless
सूत्र की जानकारी और आधार
- Write S_n = a₁ + a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ⁻¹ and multiply both sides by r: rS_n = a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ.
- Subtract the second equation from the first so all interior terms telescope: S_n(1 − r) = a₁ − a₁rⁿ.
- Divide by (1 − r) for r ≠ 1; if |r| < 1, taking lim_{n→∞} rⁿ = 0 gives S_∞ = a₁ / (1 − r).
हल किए गए उदाहरण
#1: Find the sum of the first 10 terms of 100 + 50 + 25 + 12.5 + …
a₁ = 100r = 0.5n = 10
S₁₀ = 100 × (1 − 0.5¹⁰) / (1 − 0.5) = 200 × (1 − 1/1024)
→ S₁₀ = 199.8047 (and S_∞ = 100 / 0.5 = 200)
#2: Convert the repeating decimal 0.363636… into an exact fraction.
a₁ = 0.36r = 0.01n → ∞
S_∞ = 0.36 / (1 − 0.01) = 0.36 / 0.99 = 36 / 99
→ 4 / 11
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अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
गुणोत्तर श्रेणी (GP) और अनंत गुणोत्तर श्रेणी योग सूत्र ऑनलाइन टूल कैसे काम करता है?+
अपने मान दर्ज करें या स्लाइडर समायोजित करें—यह टूल आपके ब्राउज़र में तुरंत गुणोत्तर श्रेणी (GP) और अनंत गुणोत्तर श्रेणी योग सूत्र (सूत्र: S_n = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r), S_∞ = a₁ / (1 − r) (|r| < 1)) की गणना और विज़ुअलाइज़ेशन करता है। सार्व अनुपात r वाली गुणोत्तर श्रेणी के n पदों का योग और |r| < 1 होने पर अनंत पदों के अभिसारी योग का सूत्र।
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