04 // انٹرایکٹو فارمولا مجموعہ // کیلکولس، سیریز اور الجبری کلیات کی شیٹسS_n = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r), S_∞ = a₁ / (1 − r) (|r| < 1)
ہندسی سلسلہ اور لامتناہی ہندسی سیریز کے مجموعے کا کلیہ
مشترک ضربی نسبت r والے ہندسی سلسلے کے n ارکان کا مجموعہ، نیز |r| < 1 ہونے پر لامتناہی سیریز کا مجموعہ۔
فارمولا حوالہ
بنیادی فارمولا
S_n = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r), S_∞ = a₁ / (1 − r) (|r| < 1)
متبادل شکلیں
a_n = a₁ · rⁿ⁻¹ (n-th Term of Geometric Sequence)
r = a_{k+1} / a_k (Common Ratio)
G = √(a_{k−1} · a_{k+1}) (Geometric Mean of Neighbors)
متغیرات اور اکائیاں
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| S_n | Finite Geometric Series Sum (S_n) | dimensionless |
| a1 | First Term (a₁) | 1 |
| r | Common Ratio (r) | 1 |
| n | Number of Terms (n) | integer |
ان پٹ اور پیرامیٹرز
[1]
[1]
[integer]
حساب کا نتیجہ (Finite Geometric Series Sum (S_n))
S_n =199.8047dimensionless
فارمولے کی وضاحت اور نوٹس
- Write S_n = a₁ + a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ⁻¹ and multiply both sides by r: rS_n = a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ.
- Subtract the second equation from the first so all interior terms telescope: S_n(1 − r) = a₁ − a₁rⁿ.
- Divide by (1 − r) for r ≠ 1; if |r| < 1, taking lim_{n→∞} rⁿ = 0 gives S_∞ = a₁ / (1 − r).
حل شدہ مثالیں
#1: Find the sum of the first 10 terms of 100 + 50 + 25 + 12.5 + …
a₁ = 100r = 0.5n = 10
S₁₀ = 100 × (1 − 0.5¹⁰) / (1 − 0.5) = 200 × (1 − 1/1024)
→ S₁₀ = 199.8047 (and S_∞ = 100 / 0.5 = 200)
#2: Convert the repeating decimal 0.363636… into an exact fraction.
a₁ = 0.36r = 0.01n → ∞
S_∞ = 0.36 / (1 − 0.01) = 0.36 / 0.99 = 36 / 99
→ 4 / 11
کیا یہ ٹول آپ کے لیے مددگار ثابت ہوا؟
اکثر پوچھے گئے سوالات (FAQ)
ہندسی سلسلہ اور لامتناہی ہندسی سیریز کے مجموعے کا کلیہ آن لائن ٹول کیسے کام کرتا ہے؟+
معلوم قیمتیں درج کریں یا سلائیڈر حرکت دیں تاکہ آپ کے براؤزر میں فوری طور پر ہندسی سلسلہ اور لامتناہی ہندسی سیریز کے مجموعے کا کلیہ (مساوات: S_n = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r), S_∞ = a₁ / (1 − r) (|r| < 1)) کا حساب اور بصری تجزیہ ہو سکے۔ مشترک ضربی نسبت r والے ہندسی سلسلے کے n ارکان کا مجموعہ، نیز |r| < 1 ہونے پر لامتناہی سیریز کا مجموعہ۔
کیا میں ہندسی سلسلہ اور لامتناہی ہندسی سیریز کے مجموعے کا کلیہ کے نتائج ڈاؤن لوڈ یا پرنٹ کر سکتا ہوں؟+
جی ہاں، آپ فوری طور پر SVG، PNG، CSV ڈاؤن لوڈ کر سکتے ہیں یا ورک شیٹ پرنٹ کر سکتے ہیں۔
کیا میں ہندسی سلسلہ اور لامتناہی ہندسی سیریز کے مجموعے کا کلیہ میں نمونہ ڈیٹا صاف کر کے نئے سرے سے آغاز کر سکتا ہوں؟+
جی ہاں، ٹول کے اوپر موجود کلیئر بٹن پر کلک کر کے تمام خانے خالی کیے جا سکتے ہیں اور کسی بھی وقت نمونہ ڈیٹا دوبارہ لوڈ کیا جا سکتا ہے۔