04 // انٹرایکٹو فارمولا مجموعہ // کیلکولس، سیریز اور الجبری کلیات کی شیٹسS_n = (n / 2) · [ 2a₁ + (n − 1)d ] = (n / 2) · (a₁ + a_n)
حسابی سلسلہ اور مجموعہ کا کلیہ — گاؤس جوڑا بندی شیٹ
یکساں فرق d والے حسابی سلسلے کا n واں رکن اور تمام ارکان کا درست مجموعہ معلوم کرنے کا کلیہ۔
فارمولا حوالہ
بنیادی فارمولا
S_n = (n / 2) · [ 2a₁ + (n − 1)d ] = (n / 2) · (a₁ + a_n)
متبادل شکلیں
a_n = a₁ + (n − 1)d (n-th Term Formula)
d = a_{k+1} − a_k (Common Difference)
Σ_{k=1..n} k = n(n + 1) / 2 (Sum of First n Natural Numbers)
متغیرات اور اکائیاں
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| S_n | Sum of First n Terms (S_n) | dimensionless |
| a1 | First Term (a₁) | 1 |
| d | Common Difference (d) | 1 |
| n | Number of Terms (n) | integer |
ان پٹ اور پیرامیٹرز
[1]
[1]
[integer]
حساب کا نتیجہ (Sum of First n Terms (S_n))
S_n =5,050dimensionless
فارمولے کی وضاحت اور نوٹس
- Write S_n forward: S_n = a₁ + (a₁ + d) + … + a_n, and backward: S_n = a_n + (a_n − d) + … + a₁.
- Add the two equations term-by-term: 2S_n = (a₁ + a_n) + (a₁ + a_n) + … n times = n(a₁ + a_n).
- Substitute a_n = a₁ + (n − 1)d and divide by 2 to get S_n = (n/2)[2a₁ + (n − 1)d].
حل شدہ مثالیں
#1: Find the sum of the integers from 1 to 100 (Gauss's classic classroom problem).
a₁ = 1d = 1n = 100
S₁₀₀ = (100 / 2) × [2(1) + (100 − 1)(1)] = 50 × 101
→ 5,050
#2: Sum the first 20 terms of the arithmetic progression 5, 9, 13, 17, …
a₁ = 5d = 4n = 20
S₂₀ = (20 / 2) × [2(5) + 19(4)] = 10 × (10 + 76)
→ 860 (with 20th term a₂₀ = 81)
کیا یہ ٹول آپ کے لیے مددگار ثابت ہوا؟
اکثر پوچھے گئے سوالات (FAQ)
حسابی سلسلہ اور مجموعہ کا کلیہ — گاؤس جوڑا بندی شیٹ آن لائن ٹول کیسے کام کرتا ہے؟+
معلوم قیمتیں درج کریں یا سلائیڈر حرکت دیں تاکہ آپ کے براؤزر میں فوری طور پر حسابی سلسلہ اور مجموعہ کا کلیہ — گاؤس جوڑا بندی شیٹ (مساوات: S_n = (n / 2) · [ 2a₁ + (n − 1)d ] = (n / 2) · (a₁ + a_n)) کا حساب اور بصری تجزیہ ہو سکے۔ یکساں فرق d والے حسابی سلسلے کا n واں رکن اور تمام ارکان کا درست مجموعہ معلوم کرنے کا کلیہ۔
کیا میں حسابی سلسلہ اور مجموعہ کا کلیہ — گاؤس جوڑا بندی شیٹ کے نتائج ڈاؤن لوڈ یا پرنٹ کر سکتا ہوں؟+
جی ہاں، آپ فوری طور پر SVG، PNG، CSV ڈاؤن لوڈ کر سکتے ہیں یا ورک شیٹ پرنٹ کر سکتے ہیں۔
کیا میں حسابی سلسلہ اور مجموعہ کا کلیہ — گاؤس جوڑا بندی شیٹ میں نمونہ ڈیٹا صاف کر کے نئے سرے سے آغاز کر سکتا ہوں؟+
جی ہاں، ٹول کے اوپر موجود کلیئر بٹن پر کلک کر کے تمام خانے خالی کیے جا سکتے ہیں اور کسی بھی وقت نمونہ ڈیٹا دوبارہ لوڈ کیا جا سکتا ہے۔