04 // 인터랙티브 공식 백과사전 // 미적분·급수 및 대수 항등식 핵심 공식집S_n = (n / 2) · [ 2a₁ + (n − 1)d ] = (n / 2) · (a₁ + a_n)
등차수열 일반항 및 합 공식 — 가우스 짝짓기 정리
일정한 공차 d만큼 변하는 등차수열의 제n항과 첫째항부터 끝항까지 짝을 지어 빠르게 합계를 구하는 공식을 다룹니다.
공식 요약
기본 공식
S_n = (n / 2) · [ 2a₁ + (n − 1)d ] = (n / 2) · (a₁ + a_n)
변형 공식
a_n = a₁ + (n − 1)d (n-th Term Formula)
d = a_{k+1} − a_k (Common Difference)
Σ_{k=1..n} k = n(n + 1) / 2 (Sum of First n Natural Numbers)
변수 및 단위
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| S_n | Sum of First n Terms (S_n) | dimensionless |
| a1 | First Term (a₁) | 1 |
| d | Common Difference (d) | 1 |
| n | Number of Terms (n) | integer |
입력값 및 설정
[1]
[1]
[integer]
계산 결과 (Sum of First n Terms (S_n))
S_n =5,050dimensionless
공식 설명 및 배경
- Write S_n forward: S_n = a₁ + (a₁ + d) + … + a_n, and backward: S_n = a_n + (a_n − d) + … + a₁.
- Add the two equations term-by-term: 2S_n = (a₁ + a_n) + (a₁ + a_n) + … n times = n(a₁ + a_n).
- Substitute a_n = a₁ + (n − 1)d and divide by 2 to get S_n = (n/2)[2a₁ + (n − 1)d].
단계별 풀이 예제
#1: Find the sum of the integers from 1 to 100 (Gauss's classic classroom problem).
a₁ = 1d = 1n = 100
S₁₀₀ = (100 / 2) × [2(1) + (100 − 1)(1)] = 50 × 101
→ 5,050
#2: Sum the first 20 terms of the arithmetic progression 5, 9, 13, 17, …
a₁ = 5d = 4n = 20
S₂₀ = (20 / 2) × [2(5) + 19(4)] = 10 × (10 + 76)
→ 860 (with 20th term a₂₀ = 81)
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자주 묻는 질문 (FAQ)
등차수열 일반항 및 합 공식 — 가우스 짝짓기 정리 도구는 어떻게 사용하나요?+
입력값을 넣거나 슬라이더를 조절하면 등차수열 일반항 및 합 공식 — 가우스 짝짓기 정리 (공식: S_n = (n / 2) · [ 2a₁ + (n − 1)d ] = (n / 2) · (a₁ + a_n)) 결과를 브라우저에서 지연 없이 실시간으로 계산하고 시각화합니다. 일정한 공차 d만큼 변하는 등차수열의 제n항과 첫째항부터 끝항까지 짝을 지어 빠르게 합계를 구하는 공식을 다룹니다.
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