04 // 인터랙티브 공식 백과사전 // 기업재무·파생상품 및 포트폴리오 공식집A = P · (1 + r / n)^(n · t)
복리 및 연속 복리 공식 핵심 정리
원금 P를 명목 연이율 r로 연 n회 복리 계산하여 t년 동안 운용했을 때의 미래 가치 A와 연속 복리 극한 공식을 설명합니다.
공식 요약
기본 공식
A = P · (1 + r / n)^(n · t)
변형 공식
A_continuous = P · e^(r · t) (Continuous Compounding Limit, n → ∞)
APY = (1 + r / n)ⁿ − 1 (Effective Annual Percentage Yield)
t_double = ln(2) / [ n · ln(1 + r / n) ] ≈ 72 / (100 · r) (Doubling Time)
변수 및 단위
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| A | Future Compound Value (A) | USD |
| P | Initial Principal (P) | USD |
| r | Nominal Annual Interest Rate (decimal) | 1/yr |
| n | Compounding Periods per Year (n) | 1/yr |
| t | Investment Horizon (t) | yr |
입력값 및 설정
[USD]
[1/yr]
[1/yr]
[yr]
계산 결과 (Future Compound Value (A))
A =20,096.61USD
공식 설명 및 배경
- Each compounding period applies a periodic interest rate i = r / n, multiplying the balance by (1 + r/n).
- Over t years there are N = n · t total compounding periods, so P is multiplied by (1 + r/n) exactly nt times: A = P(1 + r/n)^(nt).
- Taking the limit as n → ∞ using lim_{k→∞} (1 + x/k)^k = e^x yields the continuous compounding law A = P e^(rt).
단계별 풀이 예제
#1: Invest $10,000 at 7% APR compounded monthly (n = 12) for 10 years.
P = $10,000r = 0.07n = 12t = 10
A = 10000 × (1 + 0.07 / 12)^(12 × 10) = 10000 × (1.0058333)¹²⁰
→ A = $20,096.61 (Total interest earned = $10,096.61, APY = 7.229%)
#2: Compare the same $10,000 at 7% for 10 years under continuous compounding.
P = $10,000r = 0.07t = 10
A = 10000 × e^(0.07 × 10) = 10000 × e^0.7
→ A = $20,137.53 ($40.92 higher than monthly compounding)
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자주 묻는 질문 (FAQ)
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