04 // インタラクティブ数式・公式辞典 // コーポレートファイナンス・オプション・投資の公式集A = P · (1 + r / n)^(n · t)
複利計算と連続複利の公式シート
元本 P を名目年利 r・年 n 回の複利で t 年間運用したときの将来価値 A と、極限としての連続複利の式をわかりやすく解説します。
公式リファレンス
基本公式
A = P · (1 + r / n)^(n · t)
変形した式
A_continuous = P · e^(r · t) (Continuous Compounding Limit, n → ∞)
APY = (1 + r / n)ⁿ − 1 (Effective Annual Percentage Yield)
t_double = ln(2) / [ n · ln(1 + r / n) ] ≈ 72 / (100 · r) (Doubling Time)
変数と単位
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| A | Future Compound Value (A) | USD |
| P | Initial Principal (P) | USD |
| r | Nominal Annual Interest Rate (decimal) | 1/yr |
| n | Compounding Periods per Year (n) | 1/yr |
| t | Investment Horizon (t) | yr |
入力値・パラメータ
[USD]
[1/yr]
[1/yr]
[yr]
計算結果 (Future Compound Value (A))
A =20,096.61USD
公式の解説・背景
- Each compounding period applies a periodic interest rate i = r / n, multiplying the balance by (1 + r/n).
- Over t years there are N = n · t total compounding periods, so P is multiplied by (1 + r/n) exactly nt times: A = P(1 + r/n)^(nt).
- Taking the limit as n → ∞ using lim_{k→∞} (1 + x/k)^k = e^x yields the continuous compounding law A = P e^(rt).
具体的な計算例
#1: Invest $10,000 at 7% APR compounded monthly (n = 12) for 10 years.
P = $10,000r = 0.07n = 12t = 10
A = 10000 × (1 + 0.07 / 12)^(12 × 10) = 10000 × (1.0058333)¹²⁰
→ A = $20,096.61 (Total interest earned = $10,096.61, APY = 7.229%)
#2: Compare the same $10,000 at 7% for 10 years under continuous compounding.
P = $10,000r = 0.07t = 10
A = 10000 × e^(0.07 × 10) = 10000 × e^0.7
→ A = $20,137.53 ($40.92 higher than monthly compounding)
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よくある質問（FAQ）
複利計算と連続複利の公式シートの使い方は？+
数値を入力するかスライダーを動かすだけで、複利計算と連続複利の公式シート（数式: A = P · (1 + r / n)^(n · t)）をブラウザ上で即座に計算・視覚化できます。元本 P を名目年利 r・年 n 回の複利で t 年間運用したときの将来価値 A と、極限としての連続複利の式をわかりやすく解説します。
複利計算と連続複利の公式シートの計算結果やグラフは保存できますか？+
はい。計算結果のワンクリックコピーに加え、高解像度のSVG・PNG画像、CSVデータ、印刷用ワークシートとして即座に出力できます。
複利計算と連続複利の公式シートのサンプルデータを消去して白紙から入力できますか？+
はい。ツール上部のクリア（白紙から開始）ボタンを押すとすべての入力欄がリセットされ、いつでもサンプルデータを再読み込みできます。