04 // インタラクティブ数式・公式辞典 // 微分積分・級数・代数の公式リファレンスS_n = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r), S_∞ = a₁ / (1 − r) (|r| < 1)
等比数列の和と無限等比級数の収束公式
一定の公比 r を掛けて進む等比数列の初項から第n項までの和と、|r| < 1 のときに収束する無限等比級数の極限値を解説します。
公式リファレンス
基本公式
S_n = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r), S_∞ = a₁ / (1 − r) (|r| < 1)
変形した式
a_n = a₁ · rⁿ⁻¹ (n-th Term of Geometric Sequence)
r = a_{k+1} / a_k (Common Ratio)
G = √(a_{k−1} · a_{k+1}) (Geometric Mean of Neighbors)
変数と単位
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| S_n | Finite Geometric Series Sum (S_n) | dimensionless |
| a1 | First Term (a₁) | 1 |
| r | Common Ratio (r) | 1 |
| n | Number of Terms (n) | integer |
入力値・パラメータ
[1]
[1]
[integer]
計算結果 (Finite Geometric Series Sum (S_n))
S_n =199.8047dimensionless
公式の解説・背景
- Write S_n = a₁ + a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ⁻¹ and multiply both sides by r: rS_n = a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ.
- Subtract the second equation from the first so all interior terms telescope: S_n(1 − r) = a₁ − a₁rⁿ.
- Divide by (1 − r) for r ≠ 1; if |r| < 1, taking lim_{n→∞} rⁿ = 0 gives S_∞ = a₁ / (1 − r).
具体的な計算例
#1: Find the sum of the first 10 terms of 100 + 50 + 25 + 12.5 + …
a₁ = 100r = 0.5n = 10
S₁₀ = 100 × (1 − 0.5¹⁰) / (1 − 0.5) = 200 × (1 − 1/1024)
→ S₁₀ = 199.8047 (and S_∞ = 100 / 0.5 = 200)
#2: Convert the repeating decimal 0.363636… into an exact fraction.
a₁ = 0.36r = 0.01n → ∞
S_∞ = 0.36 / (1 − 0.01) = 0.36 / 0.99 = 36 / 99
→ 4 / 11
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よくある質問（FAQ）
等比数列の和と無限等比級数の収束公式の使い方は？+
数値を入力するかスライダーを動かすだけで、等比数列の和と無限等比級数の収束公式（数式: S_n = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r), S_∞ = a₁ / (1 − r) (|r| < 1)）をブラウザ上で即座に計算・視覚化できます。一定の公比 r を掛けて進む等比数列の初項から第n項までの和と、|r| < 1 のときに収束する無限等比級数の極限値を解説します。
等比数列の和と無限等比級数の収束公式の計算結果やグラフは保存できますか？+
はい。計算結果のワンクリックコピーに加え、高解像度のSVG・PNG画像、CSVデータ、印刷用ワークシートとして即座に出力できます。
等比数列の和と無限等比級数の収束公式のサンプルデータを消去して白紙から入力できますか？+
はい。ツール上部のクリア（白紙から開始）ボタンを押すとすべての入力欄がリセットされ、いつでもサンプルデータを再読み込みできます。