04 // موسوعة المعادلات التفاعلية // مراجع قوانين التفاضل والتكامل والمتسلسلات والجبرS_n = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r), S_∞ = a₁ / (1 − r) (|r| < 1)
صيغة مجموع المتتالية الهندسية والمتسلسلة الهندسية اللانهائية
الصيغة المغلقة لمجموع أول $n$ حداً في متتالية هندسية بأساس نسبي $r$، مع قانون المجموع اللانهائي المتقارب عندما $|r| < 1$.
مرجع المعادلة
المعادلة الأساسية
S_n = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r), S_∞ = a₁ / (1 − r) (|r| < 1)
الصيغ البديلة
a_n = a₁ · rⁿ⁻¹ (n-th Term of Geometric Sequence)
r = a_{k+1} / a_k (Common Ratio)
G = √(a_{k−1} · a_{k+1}) (Geometric Mean of Neighbors)
المتغيرات والوحدات
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| S_n | Finite Geometric Series Sum (S_n) | dimensionless |
| a1 | First Term (a₁) | 1 |
| r | Common Ratio (r) | 1 |
| n | Number of Terms (n) | integer |
المدخلات والمعاملات
[1]
[1]
[integer]
النتيجة المحسوبة (Finite Geometric Series Sum (S_n))
S_n =199.8047dimensionless
شرح المعادلة وملاحظاتها
- Write S_n = a₁ + a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ⁻¹ and multiply both sides by r: rS_n = a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ.
- Subtract the second equation from the first so all interior terms telescope: S_n(1 − r) = a₁ − a₁rⁿ.
- Divide by (1 − r) for r ≠ 1; if |r| < 1, taking lim_{n→∞} rⁿ = 0 gives S_∞ = a₁ / (1 − r).
أمثلة محلولة خطوة بخطوة
#1: Find the sum of the first 10 terms of 100 + 50 + 25 + 12.5 + …
a₁ = 100r = 0.5n = 10
S₁₀ = 100 × (1 − 0.5¹⁰) / (1 − 0.5) = 200 × (1 − 1/1024)
→ S₁₀ = 199.8047 (and S_∞ = 100 / 0.5 = 200)
#2: Convert the repeating decimal 0.363636… into an exact fraction.
a₁ = 0.36r = 0.01n → ∞
S_∞ = 0.36 / (1 − 0.01) = 0.36 / 0.99 = 36 / 99
→ 4 / 11
هل كانت هذه الأداة مفيدة؟
الأسئلة الشائعة
كيف تعمل أداة صيغة مجموع المتتالية الهندسية والمتسلسلة الهندسية اللانهائية أونلاين؟+
أدخل القيم المعروفة أو حرّك المؤشرات لحساب ومحاكاة صيغة مجموع المتتالية الهندسية والمتسلسلة الهندسية اللانهائية وفق المعادلة S_n = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r), S_∞ = a₁ / (1 − r) (|r| < 1) فوريًا داخل متصفحك. الصيغة المغلقة لمجموع أول $n$ حداً في متتالية هندسية بأساس نسبي $r$، مع قانون المجموع اللانهائي المتقارب عندما $|r| < 1$.
هل يمكنني تصدير أو طباعة نتائج صيغة مجموع المتتالية الهندسية والمتسلسلة الهندسية اللانهائية؟+
نعم، تعمل الأداة بالكامل داخل المتصفح وتتيح نسخ النتائج أو طباعة ورقة العمل أو تنزيل مخططات عالية الدقة بصيغة SVG وPNG وCSV.
هل يمكنني مسح البيانات التجريبية في صيغة مجموع المتتالية الهندسية والمتسلسلة الهندسية اللانهائية والبدء من الصفر؟+
نعم، انقر على زر المسح والبدء بصفحة فارغة أعلى الأداة لإدخال أرقامك الخاصة من البداية، أو أعد تحميل المثال التوضيحي في أي وقت.