04 // موسوعة المعادلات التفاعلية // مراجع قوانين التفاضل والتكامل والمتسلسلات والجبرS_n = (n / 2) · [ 2a₁ + (n − 1)d ] = (n / 2) · (a₁ + a_n)
صيغة مجموع المتسلسلة الحسابية والحد النوني — طريقة غاوس
تحسب الحد النوني والمجموع التراكمي الدقيق لأي متتالية حسابية ذات فرق ثابت $d$ بين حدودها.
مرجع المعادلة
المعادلة الأساسية
S_n = (n / 2) · [ 2a₁ + (n − 1)d ] = (n / 2) · (a₁ + a_n)
الصيغ البديلة
a_n = a₁ + (n − 1)d (n-th Term Formula)
d = a_{k+1} − a_k (Common Difference)
Σ_{k=1..n} k = n(n + 1) / 2 (Sum of First n Natural Numbers)
المتغيرات والوحدات
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| S_n | Sum of First n Terms (S_n) | dimensionless |
| a1 | First Term (a₁) | 1 |
| d | Common Difference (d) | 1 |
| n | Number of Terms (n) | integer |
المدخلات والمعاملات
[1]
[1]
[integer]
النتيجة المحسوبة (Sum of First n Terms (S_n))
S_n =5,050dimensionless
شرح المعادلة وملاحظاتها
- Write S_n forward: S_n = a₁ + (a₁ + d) + … + a_n, and backward: S_n = a_n + (a_n − d) + … + a₁.
- Add the two equations term-by-term: 2S_n = (a₁ + a_n) + (a₁ + a_n) + … n times = n(a₁ + a_n).
- Substitute a_n = a₁ + (n − 1)d and divide by 2 to get S_n = (n/2)[2a₁ + (n − 1)d].
أمثلة محلولة خطوة بخطوة
#1: Find the sum of the integers from 1 to 100 (Gauss's classic classroom problem).
a₁ = 1d = 1n = 100
S₁₀₀ = (100 / 2) × [2(1) + (100 − 1)(1)] = 50 × 101
→ 5,050
#2: Sum the first 20 terms of the arithmetic progression 5, 9, 13, 17, …
a₁ = 5d = 4n = 20
S₂₀ = (20 / 2) × [2(5) + 19(4)] = 10 × (10 + 76)
→ 860 (with 20th term a₂₀ = 81)
هل كانت هذه الأداة مفيدة؟
الأسئلة الشائعة
كيف تعمل أداة صيغة مجموع المتسلسلة الحسابية والحد النوني — طريقة غاوس أونلاين؟+
أدخل القيم المعروفة أو حرّك المؤشرات لحساب ومحاكاة صيغة مجموع المتسلسلة الحسابية والحد النوني — طريقة غاوس وفق المعادلة S_n = (n / 2) · [ 2a₁ + (n − 1)d ] = (n / 2) · (a₁ + a_n) فوريًا داخل متصفحك. تحسب الحد النوني والمجموع التراكمي الدقيق لأي متتالية حسابية ذات فرق ثابت $d$ بين حدودها.
هل يمكنني تصدير أو طباعة نتائج صيغة مجموع المتسلسلة الحسابية والحد النوني — طريقة غاوس؟+
نعم، تعمل الأداة بالكامل داخل المتصفح وتتيح نسخ النتائج أو طباعة ورقة العمل أو تنزيل مخططات عالية الدقة بصيغة SVG وPNG وCSV.
هل يمكنني مسح البيانات التجريبية في صيغة مجموع المتسلسلة الحسابية والحد النوني — طريقة غاوس والبدء من الصفر؟+
نعم، انقر على زر المسح والبدء بصفحة فارغة أعلى الأداة لإدخال أرقامك الخاصة من البداية، أو أعد تحميل المثال التوضيحي في أي وقت.