04 // Интерактивный справочник формул // СПРАВОЧНИК ФОРМУЛ МАТАНАЛИЗА, РЯДОВ И АЛГЕБРЫS_n = (n / 2) · [ 2a₁ + (n − 1)d ] = (n / 2) · (a₁ + a_n)
Формула суммы арифметической прогрессии — метод пар Гаусса
Позволяет найти n-й член и точную сумму первых n членов арифметической прогрессии с постоянной разностью d.
Справочная карточка формулы
Основная формула
S_n = (n / 2) · [ 2a₁ + (n − 1)d ] = (n / 2) · (a₁ + a_n)
Выраженные формы
a_n = a₁ + (n − 1)d (n-th Term Formula)
d = a_{k+1} − a_k (Common Difference)
Σ_{k=1..n} k = n(n + 1) / 2 (Sum of First n Natural Numbers)
Переменные и единицы
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| S_n | Sum of First n Terms (S_n) | dimensionless |
| a1 | First Term (a₁) | 1 |
| d | Common Difference (d) | 1 |
| n | Number of Terms (n) | integer |
Исходные данные и параметры
[1]
[1]
[integer]
Результат расчёта (Sum of First n Terms (S_n))
S_n =5,050dimensionless
Пояснения и вывод формулы
- Write S_n forward: S_n = a₁ + (a₁ + d) + … + a_n, and backward: S_n = a_n + (a_n − d) + … + a₁.
- Add the two equations term-by-term: 2S_n = (a₁ + a_n) + (a₁ + a_n) + … n times = n(a₁ + a_n).
- Substitute a_n = a₁ + (n − 1)d and divide by 2 to get S_n = (n/2)[2a₁ + (n − 1)d].
Примеры с подробным решением
#1: Find the sum of the integers from 1 to 100 (Gauss's classic classroom problem).
a₁ = 1d = 1n = 100
S₁₀₀ = (100 / 2) × [2(1) + (100 − 1)(1)] = 50 × 101
→ 5,050
#2: Sum the first 20 terms of the arithmetic progression 5, 9, 13, 17, …
a₁ = 5d = 4n = 20
S₂₀ = (20 / 2) × [2(5) + 19(4)] = 10 × (10 + 76)
→ 860 (with 20th term a₂₀ = 81)
Был ли этот инструмент полезен?
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Как пользоваться онлайн-инструментом «Формула суммы арифметической прогрессии — метод пар Гаусса»?+
Введите известные параметры или перемещайте ползунки для мгновенного расчёта Формула суммы арифметической прогрессии — метод пар Гаусса по формуле S_n = (n / 2) · [ 2a₁ + (n − 1)d ] = (n / 2) · (a₁ + a_n) прямо в браузере. Позволяет найти n-й член и точную сумму первых n членов арифметической прогрессии с постоянной разностью d.
Можно ли скачать график или расчёт из «Формула суммы арифметической прогрессии — метод пар Гаусса»?+
Да, все вычисления выполняются локально в браузере. Вы можете скачать векторный SVG, растровый PNG, таблицу CSV или распечатать лист с решением.
Можно ли очистить демонстрационные данные в «Формула суммы арифметической прогрессии — метод пар Гаусса» и начать с нуля?+
Да. Нажмите кнопку очистки в верхней части инструмента, чтобы сбросить поля и ввести собственные данные с чистого листа, либо верните пример одним нажатием.