04 // ইন্টারঅ্যাক্টিভ সূত্র সংকলন // ক্যালকুলাস, ধারা ও বীজগাণিতিক অভেদ শিটS_n = (n / 2) · [ 2a₁ + (n − 1)d ] = (n / 2) · (a₁ + a_n)
সমান্তর অনুক্রম ও ধারার সমষ্টি সূত্র — গাউস জোড় পদ্ধতি শিট
ধ্রুব সাধারণ অন্তর d বিশিষ্ট সমান্তর প্রগমনের n-তম পদ এবং প্রথম n সংখ্যক পদের নির্ভুল সমষ্টি নির্ণয় করে।
সূত্র পরিচিতি
মূল সূত্র
S_n = (n / 2) · [ 2a₁ + (n − 1)d ] = (n / 2) · (a₁ + a_n)
রূপান্তরিত সূত্র
a_n = a₁ + (n − 1)d (n-th Term Formula)
d = a_{k+1} − a_k (Common Difference)
Σ_{k=1..n} k = n(n + 1) / 2 (Sum of First n Natural Numbers)
চলক ও একক
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| S_n | Sum of First n Terms (S_n) | dimensionless |
| a1 | First Term (a₁) | 1 |
| d | Common Difference (d) | 1 |
| n | Number of Terms (n) | integer |
ইনপুট ও প্যারামিটার
[1]
[1]
[integer]
গণনার ফলাফল (Sum of First n Terms (S_n))
S_n =5,050dimensionless
সূত্রের ব্যাখ্যা ও নোট
- Write S_n forward: S_n = a₁ + (a₁ + d) + … + a_n, and backward: S_n = a_n + (a_n − d) + … + a₁.
- Add the two equations term-by-term: 2S_n = (a₁ + a_n) + (a₁ + a_n) + … n times = n(a₁ + a_n).
- Substitute a_n = a₁ + (n − 1)d and divide by 2 to get S_n = (n/2)[2a₁ + (n − 1)d].
সমাধানসহ উদাহরণ
#1: Find the sum of the integers from 1 to 100 (Gauss's classic classroom problem).
a₁ = 1d = 1n = 100
S₁₀₀ = (100 / 2) × [2(1) + (100 − 1)(1)] = 50 × 101
→ 5,050
#2: Sum the first 20 terms of the arithmetic progression 5, 9, 13, 17, …
a₁ = 5d = 4n = 20
S₂₀ = (20 / 2) × [2(5) + 19(4)] = 10 × (10 + 76)
→ 860 (with 20th term a₂₀ = 81)
এই টুলটি কি আপনার কাজে লেগেছে?
সচরাচর জিজ্ঞাসিত প্রশ্নাবলী (FAQ)
সমান্তর অনুক্রম ও ধারার সমষ্টি সূত্র — গাউস জোড় পদ্ধতি শিট অনলাইন টুলটি কীভাবে কাজ করে?+
প্রদত্ত মানগুলো ইনপুট দিন অথবা স্লাইডার পরিবর্তন করুন—এই টুলটি ব্রাউজারে তাৎক্ষণিকভাবে সমান্তর অনুক্রম ও ধারার সমষ্টি সূত্র — গাউস জোড় পদ্ধতি শিট (S_n = (n / 2) · [ 2a₁ + (n − 1)d ] = (n / 2) · (a₁ + a_n) সূত্র অনুযায়ী) গণনা ও প্রদর্শন করে। ধ্রুব সাধারণ অন্তর d বিশিষ্ট সমান্তর প্রগমনের n-তম পদ এবং প্রথম n সংখ্যক পদের নির্ভুল সমষ্টি নির্ণয় করে।
আমি কি সমান্তর অনুক্রম ও ধারার সমষ্টি সূত্র — গাউস জোড় পদ্ধতি শিট থেকে ফলাফল বা চার্ট ডাউনলোড করতে পারব?+
হ্যাঁ, আপনি তাৎক্ষণিকভাবে SVG, PNG, CSV ডাউনলোড বা ওয়ার্কশিট প্রিন্ট করতে পারবেন।
আমি কি সমান্তর অনুক্রম ও ধারার সমষ্টি সূত্র — গাউস জোড় পদ্ধতি শিট-এর নমুনা ডেটা মুছে নতুন করে শুরু করতে পারি?+
হ্যাঁ, টুলের উপরের ক্লিয়ার বোতামে ক্লিক করে সম্পূর্ণ ফাঁকা অবস্থায় নিজের মান বসাতে পারবেন এবং যেকোনো সময় নমুনা ডেটা ফিরিয়ে আনতে পারবেন।