04 // Compendium Interactif de Formules // FORMULES D'ANALYSE, SÉRIES ET IDENTITÉS ALGÉBRIQUESS_n = (n / 2) · [ 2a₁ + (n − 1)d ] = (n / 2) · (a₁ + a_n)

Formule de la somme d'une suite arithmétique — Méthode de Gauss

Calcule le terme de rang n et la somme cumulée exacte d'une progression arithmétique de raison constante d.

Fiche formule

Formule principale

S_n = (n / 2) · [ 2a₁ + (n − 1)d ] = (n / 2) · (a₁ + a_n)

Formes équivalentes

a_n = a₁ + (n − 1)d (n-th Term Formula)

d = a_{k+1} − a_k (Common Difference)

Σ_{k=1..n} k = n(n + 1) / 2 (Sum of First n Natural Numbers)

Variables et unités

Variables et unités — Arithmetic Sequence & Series Sum Formula — Gauss Pairing Sheet
Symbol	Name	Unit
S_n	Sum of First n Terms (S_n)	dimensionless
a1	First Term (a₁)	1
d	Common Difference (d)	1
n	Number of Terms (n)	integer

Valeurs et paramètres

a1First Term (a₁)[1]

dCommon Difference (d)[1]

nNumber of Terms (n)[integer]

Résultat calculé (Sum of First n Terms (S_n))

S_n =5,050dimensionless

Explications et origine de la formule

Write S_n forward: S_n = a₁ + (a₁ + d) + … + a_n, and backward: S_n = a_n + (a_n − d) + … + a₁.
Add the two equations term-by-term: 2S_n = (a₁ + a_n) + (a₁ + a_n) + … n times = n(a₁ + a_n).
Substitute a_n = a₁ + (n − 1)d and divide by 2 to get S_n = (n/2)[2a₁ + (n − 1)d].

Exemples détaillés

#1: Find the sum of the integers from 1 to 100 (Gauss's classic classroom problem).

a₁ = 1d = 1n = 100

S₁₀₀ = (100 / 2) × [2(1) + (100 − 1)(1)] = 50 × 101

→ 5,050

#2: Sum the first 20 terms of the arithmetic progression 5, 9, 13, 17, …

a₁ = 5d = 4n = 20

S₂₀ = (20 / 2) × [2(5) + 19(4)] = 10 × (10 + 76)

→ 860 (with 20th term a₂₀ = 81)

Cet outil vous a-t-il été utile ?

Questions Fréquemment Posées

Comment utiliser l'outil Formule de la somme d'une suite arithmétique — Méthode de Gauss en ligne ?+

Modifiez les paramètres pour résoudre et visualiser Formule de la somme d'une suite arithmétique — Méthode de Gauss selon la formule S_n = (n / 2) · [ 2a₁ + (n − 1)d ] = (n / 2) · (a₁ + a_n) instantanément dans votre navigateur. Calcule le terme de rang n et la somme cumulée exacte d'une progression arithmétique de raison constante d.

Puis-je exporter les graphiques et calculs de Formule de la somme d'une suite arithmétique — Méthode de Gauss ?+

Oui, cet outil permet l'export immédiat en SVG, PNG, CSV ainsi que l'impression d'une fiche de travail complète.

Puis-je effacer les données d'exemple dans Formule de la somme d'une suite arithmétique — Méthode de Gauss pour repartir de zéro ?+

Oui. Cliquez sur le bouton d'effacement en haut de Formule de la somme d'une suite arithmétique — Méthode de Gauss afin de saisir vos propres valeurs sur une base vierge, ou rechargez l'exemple en un clic.