04 // इंटरएक्टिव सूत्र संकलन // कैलकुलस, श्रेणी विस्तार और बीजगणितीय सर्वसमिका सूत्रS_n = (n / 2) · [ 2a₁ + (n − 1)d ] = (n / 2) · (a₁ + a_n)
समांतर श्रेणी (AP) और योगफल सूत्र — गॉस युग्मन संदर्भ शीट
नियत सार्व अंतर d वाली समांतर श्रेणी का n-वाँ पद और प्रथम n पदों का सटीक योगफल ज्ञात करने का सूत्र।
सूत्र संदर्भ
मुख्य सूत्र
S_n = (n / 2) · [ 2a₁ + (n − 1)d ] = (n / 2) · (a₁ + a_n)
अन्य रूप
a_n = a₁ + (n − 1)d (n-th Term Formula)
d = a_{k+1} − a_k (Common Difference)
Σ_{k=1..n} k = n(n + 1) / 2 (Sum of First n Natural Numbers)
चर और इकाइयाँ
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| S_n | Sum of First n Terms (S_n) | dimensionless |
| a1 | First Term (a₁) | 1 |
| d | Common Difference (d) | 1 |
| n | Number of Terms (n) | integer |
इनपुट और मान
[1]
[1]
[integer]
गणना का परिणाम (Sum of First n Terms (S_n))
S_n =5,050dimensionless
सूत्र की जानकारी और आधार
- Write S_n forward: S_n = a₁ + (a₁ + d) + … + a_n, and backward: S_n = a_n + (a_n − d) + … + a₁.
- Add the two equations term-by-term: 2S_n = (a₁ + a_n) + (a₁ + a_n) + … n times = n(a₁ + a_n).
- Substitute a_n = a₁ + (n − 1)d and divide by 2 to get S_n = (n/2)[2a₁ + (n − 1)d].
हल किए गए उदाहरण
#1: Find the sum of the integers from 1 to 100 (Gauss's classic classroom problem).
a₁ = 1d = 1n = 100
S₁₀₀ = (100 / 2) × [2(1) + (100 − 1)(1)] = 50 × 101
→ 5,050
#2: Sum the first 20 terms of the arithmetic progression 5, 9, 13, 17, …
a₁ = 5d = 4n = 20
S₂₀ = (20 / 2) × [2(5) + 19(4)] = 10 × (10 + 76)
→ 860 (with 20th term a₂₀ = 81)
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अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
समांतर श्रेणी (AP) और योगफल सूत्र — गॉस युग्मन संदर्भ शीट ऑनलाइन टूल कैसे काम करता है?+
अपने मान दर्ज करें या स्लाइडर समायोजित करें—यह टूल आपके ब्राउज़र में तुरंत समांतर श्रेणी (AP) और योगफल सूत्र — गॉस युग्मन संदर्भ शीट (सूत्र: S_n = (n / 2) · [ 2a₁ + (n − 1)d ] = (n / 2) · (a₁ + a_n)) की गणना और विज़ुअलाइज़ेशन करता है। नियत सार्व अंतर d वाली समांतर श्रेणी का n-वाँ पद और प्रथम n पदों का सटीक योगफल ज्ञात करने का सूत्र।
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क्या मैं समांतर श्रेणी (AP) और योगफल सूत्र — गॉस युग्मन संदर्भ शीट में उदाहरण डेटा साफ़ करके शून्य से शुरू कर सकता हूँ?+
हाँ, टूल के ऊपर दिए गए क्लीयर बटन पर क्लिक करके आप सभी इनपुट खाली कर सकते हैं और कभी भी सैंपल डेटा वापस लोड कर सकते हैं।