04 // インタラクティブ数式・公式辞典 // 微分積分・級数・代数の公式リファレンスS_n = (n / 2) · [ 2a₁ + (n − 1)d ] = (n / 2) · (a₁ + a_n)
等差数列の一般項と和の公式 — ガウスの計算アプローチ
一定の公差 d で増減する等差数列の第n項と、初項から末項までをペアにして素早く合計を求める和の公式を整理しています。
公式リファレンス
基本公式
S_n = (n / 2) · [ 2a₁ + (n − 1)d ] = (n / 2) · (a₁ + a_n)
変形した式
a_n = a₁ + (n − 1)d (n-th Term Formula)
d = a_{k+1} − a_k (Common Difference)
Σ_{k=1..n} k = n(n + 1) / 2 (Sum of First n Natural Numbers)
変数と単位
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| S_n | Sum of First n Terms (S_n) | dimensionless |
| a1 | First Term (a₁) | 1 |
| d | Common Difference (d) | 1 |
| n | Number of Terms (n) | integer |
入力値・パラメータ
[1]
[1]
[integer]
計算結果 (Sum of First n Terms (S_n))
S_n =5,050dimensionless
公式の解説・背景
- Write S_n forward: S_n = a₁ + (a₁ + d) + … + a_n, and backward: S_n = a_n + (a_n − d) + … + a₁.
- Add the two equations term-by-term: 2S_n = (a₁ + a_n) + (a₁ + a_n) + … n times = n(a₁ + a_n).
- Substitute a_n = a₁ + (n − 1)d and divide by 2 to get S_n = (n/2)[2a₁ + (n − 1)d].
具体的な計算例
#1: Find the sum of the integers from 1 to 100 (Gauss's classic classroom problem).
a₁ = 1d = 1n = 100
S₁₀₀ = (100 / 2) × [2(1) + (100 − 1)(1)] = 50 × 101
→ 5,050
#2: Sum the first 20 terms of the arithmetic progression 5, 9, 13, 17, …
a₁ = 5d = 4n = 20
S₂₀ = (20 / 2) × [2(5) + 19(4)] = 10 × (10 + 76)
→ 860 (with 20th term a₂₀ = 81)
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よくある質問（FAQ）
等差数列の一般項と和の公式 — ガウスの計算アプローチの使い方は？+
数値を入力するかスライダーを動かすだけで、等差数列の一般項と和の公式 — ガウスの計算アプローチ（数式: S_n = (n / 2) · [ 2a₁ + (n − 1)d ] = (n / 2) · (a₁ + a_n)）をブラウザ上で即座に計算・視覚化できます。一定の公差 d で増減する等差数列の第n項と、初項から末項までをペアにして素早く合計を求める和の公式を整理しています。
等差数列の一般項と和の公式 — ガウスの計算アプローチの計算結果やグラフは保存できますか？+
はい。計算結果のワンクリックコピーに加え、高解像度のSVG・PNG画像、CSVデータ、印刷用ワークシートとして即座に出力できます。
等差数列の一般項と和の公式 — ガウスの計算アプローチのサンプルデータを消去して白紙から入力できますか？+
はい。ツール上部のクリア（白紙から開始）ボタンを押すとすべての入力欄がリセットされ、いつでもサンプルデータを再読み込みできます。