04 // 交互式科学公式百科 // 欧氏几何、解析几何、圆锥曲线与三角定律(x − h)² / a² + (y − k)² / b² = 1, Area = π · a · b
圆与椭圆标准方程 — 圆锥曲线几何参数速查表
汇总圆和椭圆的中心坐标 (h, k)、长短半轴 (a, b)、离心率 e、焦点位置、面积及拉马努金近似周长公式。
公式速查卡
核心公式
(x − h)² / a² + (y − k)² / b² = 1, Area = π · a · b
变形公式
(x − h)² + (y − k)² = r² (Circle Standard Form, a = b = r)
c = √(a² − b²), e = c / a (Focal Distance & Eccentricity, a ≥ b)
P ≈ π [ 3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b)) ] (Ramanujan Perimeter)
变量说明与单位
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| A | Ellipse / Circle Enclosed Area (π·a·b) | m² |
| a | Semi-Major Axis (a) | m |
| b | Semi-Minor Axis (b) | m |
输入数值与参数
[m]
[m]
计算结果 (Ellipse / Circle Enclosed Area (π·a·b))
A =47.12389m²
公式说明与推导背景
- Define an ellipse as the locus of points where the sum of distances to two foci (±c, 0) is constant: d₁ + d₂ = 2a.
- Square the distance sum √((x+c)² + y²) = 2a − √((x−c)² + y²) twice and substitute b² = a² − c² to get x²/a² + y²/b² = 1.
- Scale a unit circle of area π horizontally by a and vertically by b (Jacobian determinant ab) to obtain exact area A = πab.
分步计算实例
#1: Find the area, focal distance c, and eccentricity e of an ellipse with a = 5 m and b = 3 m.
a = 5 mb = 3 m
A = π × 5 × 3 = 15π; c = √(5² − 3²) = 4; e = 4 / 5 = 0.8
→ Area = 47.1239 m², Foci at ±4 m, Eccentricity e = 0.80
#2: Convert x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 into standard circle form.
Group terms: (x² − 6x) + (y² + 4y) = 12
Complete squares: (x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 = 12 ⇒ (x − 3)² + (y + 2)² = 25
→ Center (h, k) = (3, −2), Radius r = 5
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