04 // インタラクティブ数式・公式辞典 // 平面・立体幾何・円錐曲線・三角法の公式集(x − h)² / a² + (y − k)² / b² = 1, Area = π · a · b
円と楕円の標準方程式 — 焦点・離心率・面積の二次曲線シート
中心 (h, k)、長半径・短半径 (a, b)、離心率 e、焦点座標、面積、ラマヌジャンの楕円周長近似までを整理した解析幾何リファレンスです。
公式リファレンス
基本公式
(x − h)² / a² + (y − k)² / b² = 1, Area = π · a · b
変形した式
(x − h)² + (y − k)² = r² (Circle Standard Form, a = b = r)
c = √(a² − b²), e = c / a (Focal Distance & Eccentricity, a ≥ b)
P ≈ π [ 3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b)) ] (Ramanujan Perimeter)
変数と単位
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| A | Ellipse / Circle Enclosed Area (π·a·b) | m² |
| a | Semi-Major Axis (a) | m |
| b | Semi-Minor Axis (b) | m |
入力値・パラメータ
[m]
[m]
計算結果 (Ellipse / Circle Enclosed Area (π·a·b))
A =47.12389m²
公式の解説・背景
- Define an ellipse as the locus of points where the sum of distances to two foci (±c, 0) is constant: d₁ + d₂ = 2a.
- Square the distance sum √((x+c)² + y²) = 2a − √((x−c)² + y²) twice and substitute b² = a² − c² to get x²/a² + y²/b² = 1.
- Scale a unit circle of area π horizontally by a and vertically by b (Jacobian determinant ab) to obtain exact area A = πab.
具体的な計算例
#1: Find the area, focal distance c, and eccentricity e of an ellipse with a = 5 m and b = 3 m.
a = 5 mb = 3 m
A = π × 5 × 3 = 15π; c = √(5² − 3²) = 4; e = 4 / 5 = 0.8
→ Area = 47.1239 m², Foci at ±4 m, Eccentricity e = 0.80
#2: Convert x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 into standard circle form.
Group terms: (x² − 6x) + (y² + 4y) = 12
Complete squares: (x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 = 12 ⇒ (x − 3)² + (y + 2)² = 25
→ Center (h, k) = (3, −2), Radius r = 5
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よくある質問（FAQ）
円と楕円の標準方程式 — 焦点・離心率・面積の二次曲線シートの使い方は？+
数値を入力するかスライダーを動かすだけで、円と楕円の標準方程式 — 焦点・離心率・面積の二次曲線シート（数式: (x − h)² / a² + (y − k)² / b² = 1, Area = π · a · b）をブラウザ上で即座に計算・視覚化できます。中心 (h, k)、長半径・短半径 (a, b)、離心率 e、焦点座標、面積、ラマヌジャンの楕円周長近似までを整理した解析幾何リファレンスです。
円と楕円の標準方程式 — 焦点・離心率・面積の二次曲線シートの計算結果やグラフは保存できますか？+
はい。計算結果のワンクリックコピーに加え、高解像度のSVG・PNG画像、CSVデータ、印刷用ワークシートとして即座に出力できます。
円と楕円の標準方程式 — 焦点・離心率・面積の二次曲線シートのサンプルデータを消去して白紙から入力できますか？+
はい。ツール上部のクリア（白紙から開始）ボタンを押すとすべての入力欄がリセットされ、いつでもサンプルデータを再読み込みできます。