04 // 인터랙티브 공식 백과사전 // 평면·입체기하·원뿔곡선 및 삼각법 공식집(x − h)² / a² + (y − k)² / b² = 1, Area = π · a · b
원과 타원의 표준 방정식 — 이차곡선(원뿔곡선) 핵심 정리
중심 (h, k), 장반경·단반경 (a, b), 이심률 e, 초점 좌표, 넓이, 라마누잔 타원 둘레 근사식까지 한데 모은 해석기하 공식집입니다.
공식 요약
기본 공식
(x − h)² / a² + (y − k)² / b² = 1, Area = π · a · b
변형 공식
(x − h)² + (y − k)² = r² (Circle Standard Form, a = b = r)
c = √(a² − b²), e = c / a (Focal Distance & Eccentricity, a ≥ b)
P ≈ π [ 3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b)) ] (Ramanujan Perimeter)
변수 및 단위
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| A | Ellipse / Circle Enclosed Area (π·a·b) | m² |
| a | Semi-Major Axis (a) | m |
| b | Semi-Minor Axis (b) | m |
입력값 및 설정
[m]
[m]
계산 결과 (Ellipse / Circle Enclosed Area (π·a·b))
A =47.12389m²
공식 설명 및 배경
- Define an ellipse as the locus of points where the sum of distances to two foci (±c, 0) is constant: d₁ + d₂ = 2a.
- Square the distance sum √((x+c)² + y²) = 2a − √((x−c)² + y²) twice and substitute b² = a² − c² to get x²/a² + y²/b² = 1.
- Scale a unit circle of area π horizontally by a and vertically by b (Jacobian determinant ab) to obtain exact area A = πab.
단계별 풀이 예제
#1: Find the area, focal distance c, and eccentricity e of an ellipse with a = 5 m and b = 3 m.
a = 5 mb = 3 m
A = π × 5 × 3 = 15π; c = √(5² − 3²) = 4; e = 4 / 5 = 0.8
→ Area = 47.1239 m², Foci at ±4 m, Eccentricity e = 0.80
#2: Convert x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 into standard circle form.
Group terms: (x² − 6x) + (y² + 4y) = 12
Complete squares: (x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 = 12 ⇒ (x − 3)² + (y + 2)² = 25
→ Center (h, k) = (3, −2), Radius r = 5
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자주 묻는 질문 (FAQ)
원과 타원의 표준 방정식 — 이차곡선(원뿔곡선) 핵심 정리 도구는 어떻게 사용하나요?+
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