04 // Интерактивный справочник формул // ЗАКОНЫ ЕВКЛИДОВОЙ, АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ТРИГОНОМЕТРИИ(x − h)² / a² + (y − k)² / b² = 1, Area = π · a · b

Каноническое уравнение окружности и эллипса — конические сечения

Уравнения аналитической геометрии для окружности и эллипса: центр (h, k), полуоси (a, b), эксцентриситет e, фокусы, площадь и приближённый периметр Рамануджана.

Справочная карточка формулы

Основная формула

(x − h)² / a² + (y − k)² / b² = 1, Area = π · a · b

Выраженные формы

(x − h)² + (y − k)² = r² (Circle Standard Form, a = b = r)

c = √(a² − b²), e = c / a (Focal Distance & Eccentricity, a ≥ b)

P ≈ π [ 3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b)) ] (Ramanujan Perimeter)

Переменные и единицы

Переменные и единицы — Standard Equation of a Circle & Ellipse — Conic Sections Sheet
Symbol	Name	Unit
A	Ellipse / Circle Enclosed Area (π·a·b)	m²
a	Semi-Major Axis (a)	m
b	Semi-Minor Axis (b)	m

Исходные данные и параметры

aSemi-Major Axis (a)[m]

bSemi-Minor Axis (b)[m]

Результат расчёта (Ellipse / Circle Enclosed Area (π·a·b))

A =47.12389m²

Пояснения и вывод формулы

Define an ellipse as the locus of points where the sum of distances to two foci (±c, 0) is constant: d₁ + d₂ = 2a.
Square the distance sum √((x+c)² + y²) = 2a − √((x−c)² + y²) twice and substitute b² = a² − c² to get x²/a² + y²/b² = 1.
Scale a unit circle of area π horizontally by a and vertically by b (Jacobian determinant ab) to obtain exact area A = πab.

Примеры с подробным решением

#1: Find the area, focal distance c, and eccentricity e of an ellipse with a = 5 m and b = 3 m.

a = 5 mb = 3 m

A = π × 5 × 3 = 15π; c = √(5² − 3²) = 4; e = 4 / 5 = 0.8

→ Area = 47.1239 m², Foci at ±4 m, Eccentricity e = 0.80

#2: Convert x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 into standard circle form.

Group terms: (x² − 6x) + (y² + 4y) = 12

Complete squares: (x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 = 12 ⇒ (x − 3)² + (y + 2)² = 25

→ Center (h, k) = (3, −2), Radius r = 5

Был ли этот инструмент полезен?

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Как пользоваться онлайн-инструментом «Каноническое уравнение окружности и эллипса — конические сечения»?+

Введите известные параметры или перемещайте ползунки для мгновенного расчёта Каноническое уравнение окружности и эллипса — конические сечения по формуле (x − h)² / a² + (y − k)² / b² = 1, Area = π · a · b прямо в браузере. Уравнения аналитической геометрии для окружности и эллипса: центр (h, k), полуоси (a, b), эксцентриситет e, фокусы, площадь и приближённый периметр Рамануджана.

Можно ли скачать график или расчёт из «Каноническое уравнение окружности и эллипса — конические сечения»?+

Да, все вычисления выполняются локально в браузере. Вы можете скачать векторный SVG, растровый PNG, таблицу CSV или распечатать лист с решением.

Можно ли очистить демонстрационные данные в «Каноническое уравнение окружности и эллипса — конические сечения» и начать с нуля?+

Да. Нажмите кнопку очистки в верхней части инструмента, чтобы сбросить поля и ввести собственные данные с чистого листа, либо верните пример одним нажатием.