04 // ইন্টারঅ্যাক্টিভ সূত্র সংকলন // ইউক্লিডীয়, স্থানাঙ্ক, কনিক ও ত্রিকোণমিতিক সূত্রাবলি(x − h)² / a² + (y − k)² / b² = 1, Area = π · a · b
বৃত্ত ও উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ — কনিক সেকশন শিট
কেন্দ্র (h, k), অর্ধ-বৃহৎ ও অর্ধ-ক্ষুদ্র অক্ষ (a, b), উৎকেন্দ্রিকতা e, উপকেন্দ্র, ক্ষেত্রফল এবং রামানুজন পরিধিসহ বৃত্ত ও উপবৃত্তের সমীকরণ।
সূত্র পরিচিতি
মূল সূত্র
(x − h)² / a² + (y − k)² / b² = 1, Area = π · a · b
রূপান্তরিত সূত্র
(x − h)² + (y − k)² = r² (Circle Standard Form, a = b = r)
c = √(a² − b²), e = c / a (Focal Distance & Eccentricity, a ≥ b)
P ≈ π [ 3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b)) ] (Ramanujan Perimeter)
চলক ও একক
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| A | Ellipse / Circle Enclosed Area (π·a·b) | m² |
| a | Semi-Major Axis (a) | m |
| b | Semi-Minor Axis (b) | m |
ইনপুট ও প্যারামিটার
[m]
[m]
গণনার ফলাফল (Ellipse / Circle Enclosed Area (π·a·b))
A =47.12389m²
সূত্রের ব্যাখ্যা ও নোট
- Define an ellipse as the locus of points where the sum of distances to two foci (±c, 0) is constant: d₁ + d₂ = 2a.
- Square the distance sum √((x+c)² + y²) = 2a − √((x−c)² + y²) twice and substitute b² = a² − c² to get x²/a² + y²/b² = 1.
- Scale a unit circle of area π horizontally by a and vertically by b (Jacobian determinant ab) to obtain exact area A = πab.
সমাধানসহ উদাহরণ
#1: Find the area, focal distance c, and eccentricity e of an ellipse with a = 5 m and b = 3 m.
a = 5 mb = 3 m
A = π × 5 × 3 = 15π; c = √(5² − 3²) = 4; e = 4 / 5 = 0.8
→ Area = 47.1239 m², Foci at ±4 m, Eccentricity e = 0.80
#2: Convert x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 into standard circle form.
Group terms: (x² − 6x) + (y² + 4y) = 12
Complete squares: (x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 = 12 ⇒ (x − 3)² + (y + 2)² = 25
→ Center (h, k) = (3, −2), Radius r = 5
এই টুলটি কি আপনার কাজে লেগেছে?
সচরাচর জিজ্ঞাসিত প্রশ্নাবলী (FAQ)
বৃত্ত ও উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ — কনিক সেকশন শিট অনলাইন টুলটি কীভাবে কাজ করে?+
প্রদত্ত মানগুলো ইনপুট দিন অথবা স্লাইডার পরিবর্তন করুন—এই টুলটি ব্রাউজারে তাৎক্ষণিকভাবে বৃত্ত ও উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ — কনিক সেকশন শিট ((x − h)² / a² + (y − k)² / b² = 1, Area = π · a · b সূত্র অনুযায়ী) গণনা ও প্রদর্শন করে। কেন্দ্র (h, k), অর্ধ-বৃহৎ ও অর্ধ-ক্ষুদ্র অক্ষ (a, b), উৎকেন্দ্রিকতা e, উপকেন্দ্র, ক্ষেত্রফল এবং রামানুজন পরিধিসহ বৃত্ত ও উপবৃত্তের সমীকরণ।
আমি কি বৃত্ত ও উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ — কনিক সেকশন শিট থেকে ফলাফল বা চার্ট ডাউনলোড করতে পারব?+
হ্যাঁ, আপনি তাৎক্ষণিকভাবে SVG, PNG, CSV ডাউনলোড বা ওয়ার্কশিট প্রিন্ট করতে পারবেন।
আমি কি বৃত্ত ও উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ — কনিক সেকশন শিট-এর নমুনা ডেটা মুছে নতুন করে শুরু করতে পারি?+
হ্যাঁ, টুলের উপরের ক্লিয়ার বোতামে ক্লিক করে সম্পূর্ণ ফাঁকা অবস্থায় নিজের মান বসাতে পারবেন এবং যেকোনো সময় নমুনা ডেটা ফিরিয়ে আনতে পারবেন।