04 // Compêndio Interativo de Fórmulas // LEIS DE GEOMETRIA PLANA, ANALÍTICA, CÔNICAS E TRIGONOMETRIA(x − h)² / a² + (y − k)² / b² = 1, Area = π · a · b

Equação Reduzida da Circunferência e da Elipse — Seções Cônicas

Equações de geometria analítica para círculos e elipses com centro (h, k), semieixos (a, b), excentricidade e, focos, área e perímetro de Ramanujan.

Referência da fórmula

Fórmula principal

(x − h)² / a² + (y − k)² / b² = 1, Area = π · a · b

Formas isoladas

(x − h)² + (y − k)² = r² (Circle Standard Form, a = b = r)

c = √(a² − b²), e = c / a (Focal Distance & Eccentricity, a ≥ b)

P ≈ π [ 3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b)) ] (Ramanujan Perimeter)

Variáveis e unidades

Variáveis e unidades — Standard Equation of a Circle & Ellipse — Conic Sections Sheet
Symbol	Name	Unit
A	Ellipse / Circle Enclosed Area (π·a·b)	m²
a	Semi-Major Axis (a)	m
b	Semi-Minor Axis (b)	m

Entradas e parâmetros

aSemi-Major Axis (a)[m]

bSemi-Minor Axis (b)[m]

Resultado calculado (Ellipse / Circle Enclosed Area (π·a·b))

A =47.12389m²

Notas e explicação da fórmula

Define an ellipse as the locus of points where the sum of distances to two foci (±c, 0) is constant: d₁ + d₂ = 2a.
Square the distance sum √((x+c)² + y²) = 2a − √((x−c)² + y²) twice and substitute b² = a² − c² to get x²/a² + y²/b² = 1.
Scale a unit circle of area π horizontally by a and vertically by b (Jacobian determinant ab) to obtain exact area A = πab.

Exemplos resolvidos

#1: Find the area, focal distance c, and eccentricity e of an ellipse with a = 5 m and b = 3 m.

a = 5 mb = 3 m

A = π × 5 × 3 = 15π; c = √(5² − 3²) = 4; e = 4 / 5 = 0.8

→ Area = 47.1239 m², Foci at ±4 m, Eccentricity e = 0.80

#2: Convert x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 into standard circle form.

Group terms: (x² − 6x) + (y² + 4y) = 12

Complete squares: (x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 = 12 ⇒ (x − 3)² + (y + 2)² = 25

→ Center (h, k) = (3, −2), Radius r = 5

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Perguntas Frequentes (FAQ)

Como funciona a ferramenta Equação Reduzida da Circunferência e da Elipse — Seções Cônicas?+

Insira os valores ou ajuste os controles para calcular e visualizar Equação Reduzida da Circunferência e da Elipse — Seções Cônicas usando a equação (x − h)² / a² + (y − k)² / b² = 1, Area = π · a · b em tempo real no navegador. Equações de geometria analítica para círculos e elipses com centro (h, k), semieixos (a, b), excentricidade e, focos, área e perímetro de Ramanujan.

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