04 // Интерактивный справочник формул // ЗАКОНЫ ЕВКЛИДОВОЙ, АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ТРИГОНОМЕТРИИV_sphere = (4/3)πr³, V_cyl = πr²h, V_cone = (1/3)πr²h

Объём и площадь поверхности шара, цилиндра и конуса — стереометрия

Классические формулы стереометрии для расчёта и сопоставления объёмов и площадей поверхности шара, прямого кругового цилиндра и конуса.

Справочная карточка формулы

Основная формула

V_sphere = (4/3)πr³, V_cyl = πr²h, V_cone = (1/3)πr²h

Выраженные формы

A_sphere = 4πr² (Sphere Surface Area = dV/dr)

A_cyl = 2πr² + 2πrh (Total Cylinder Surface Area)

A_cone = πr² + πr√(r² + h²) (Cone Base + Lateral Area)

Переменные и единицы

Переменные и единицы — Sphere, Cylinder & Cone Volume & Surface Area — Solid Mensuration Sheet
Symbol	Name	Unit
V_cyl	Right Circular Cylinder Volume (πr²h)	m³
r	Radius (r)	m
h	Height (h; set h = 4r/3 for equal sphere volume)	m

Исходные данные и параметры

rRadius (r)[m]

hHeight (h; set h = 4r/3 for equal sphere volume)[m]

Результат расчёта (Right Circular Cylinder Volume (πr²h))

V_cyl =282.7433m³

Пояснения и вывод формулы

Integrate circular cross-sections of radius r along height [0, h] for a cylinder: V = ∫₀ʰ πr² dz = πr²h.
For a cone, cross-section radius scales linearly as r(z) = r(z/h), so V = ∫₀ʰ πr²(z²/h²) dz = ⅓πr²h.
By Cavalieri's Principle (Archimedes' tombstone theorem), a hemisphere of radius r has the same cross-sectional area at every height z as a cylinder of radius r and height r minus an inverted cone, yielding V_sphere = 2(πr³ − ⅓πr³) = (4/3)πr³.

Примеры с подробным решением

#1: Compute the volume of a cylindrical storage tank of radius r = 3 m and height h = 10 m.

r = 3 mh = 10 m

V_cyl = π × 3² × 10 = 90π m³

→ V_cyl = 282.743 m³ (and a cone of same dimensions holds 94.248 m³)

#2: Find the volume and surface area of a sphere with radius r = 3 m.

r = 3 m

V = (4/3)π(3³) = 36π; A = 4π(3²) = 36π

→ V = 113.097 m³, A = 113.097 m²

Был ли этот инструмент полезен?

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Как пользоваться онлайн-инструментом «Объём и площадь поверхности шара, цилиндра и конуса — стереометрия»?+

Введите известные параметры или перемещайте ползунки для мгновенного расчёта Объём и площадь поверхности шара, цилиндра и конуса — стереометрия по формуле V_sphere = (4/3)πr³, V_cyl = πr²h, V_cone = (1/3)πr²h прямо в браузере. Классические формулы стереометрии для расчёта и сопоставления объёмов и площадей поверхности шара, прямого кругового цилиндра и конуса.

Можно ли скачать график или расчёт из «Объём и площадь поверхности шара, цилиндра и конуса — стереометрия»?+

Да, все вычисления выполняются локально в браузере. Вы можете скачать векторный SVG, растровый PNG, таблицу CSV или распечатать лист с решением.

Можно ли очистить демонстрационные данные в «Объём и площадь поверхности шара, цилиндра и конуса — стереометрия» и начать с нуля?+

Да. Нажмите кнопку очистки в верхней части инструмента, чтобы сбросить поля и ввести собственные данные с чистого листа, либо верните пример одним нажатием.