04 // 인터랙티브 공식 백과사전 // 평면·입체기하·원뿔곡선 및 삼각법 공식집V_sphere = (4/3)πr³, V_cyl = πr²h, V_cone = (1/3)πr²h
구·원기둥·원뿔의 부피와 겉넓이 공식 — 입체도형 구적법 정리
아르키메데스의 고전 비례 관계를 포함해 구, 직원기둥, 직원뿔의 부피와 겉넓이 공식을 나란히 비교할 수 있도록 정리했습니다.
공식 요약
기본 공식
V_sphere = (4/3)πr³, V_cyl = πr²h, V_cone = (1/3)πr²h
변형 공식
A_sphere = 4πr² (Sphere Surface Area = dV/dr)
A_cyl = 2πr² + 2πrh (Total Cylinder Surface Area)
A_cone = πr² + πr√(r² + h²) (Cone Base + Lateral Area)
변수 및 단위
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| V_cyl | Right Circular Cylinder Volume (πr²h) | m³ |
| r | Radius (r) | m |
| h | Height (h; set h = 4r/3 for equal sphere volume) | m |
입력값 및 설정
[m]
[m]
계산 결과 (Right Circular Cylinder Volume (πr²h))
V_cyl =282.7433m³
공식 설명 및 배경
- Integrate circular cross-sections of radius r along height [0, h] for a cylinder: V = ∫₀ʰ πr² dz = πr²h.
- For a cone, cross-section radius scales linearly as r(z) = r(z/h), so V = ∫₀ʰ πr²(z²/h²) dz = ⅓πr²h.
- By Cavalieri's Principle (Archimedes' tombstone theorem), a hemisphere of radius r has the same cross-sectional area at every height z as a cylinder of radius r and height r minus an inverted cone, yielding V_sphere = 2(πr³ − ⅓πr³) = (4/3)πr³.
단계별 풀이 예제
#1: Compute the volume of a cylindrical storage tank of radius r = 3 m and height h = 10 m.
r = 3 mh = 10 m
V_cyl = π × 3² × 10 = 90π m³
→ V_cyl = 282.743 m³ (and a cone of same dimensions holds 94.248 m³)
#2: Find the volume and surface area of a sphere with radius r = 3 m.
r = 3 m
V = (4/3)π(3³) = 36π; A = 4π(3²) = 36π
→ V = 113.097 m³, A = 113.097 m²
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자주 묻는 질문 (FAQ)
구·원기둥·원뿔의 부피와 겉넓이 공식 — 입체도형 구적법 정리 도구는 어떻게 사용하나요?+
입력값을 넣거나 슬라이더를 조절하면 구·원기둥·원뿔의 부피와 겉넓이 공식 — 입체도형 구적법 정리 (공식: V_sphere = (4/3)πr³, V_cyl = πr²h, V_cone = (1/3)πr²h) 결과를 브라우저에서 지연 없이 실시간으로 계산하고 시각화합니다. 아르키메데스의 고전 비례 관계를 포함해 구, 직원기둥, 직원뿔의 부피와 겉넓이 공식을 나란히 비교할 수 있도록 정리했습니다.
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