04 // Interaktives Formel-Kompendium // EUKLIDISCHE, ANALYTISCHE, KEGELSCHNITT- & TRIGONOMETRIE-GESETZEV_sphere = (4/3)πr³, V_cyl = πr²h, V_cone = (1/3)πr²h

Volumen & Oberfläche von Kugel, Zylinder & Kegel — Körperberechnung

Klassische Formeln der Raumgeometrie zum Vergleich von Rauminhalt, Mantelfläche und Gesamtoberfläche von Kugeln, Zylindern und Kegeln.

Formelübersicht

Hauptformel

V_sphere = (4/3)πr³, V_cyl = πr²h, V_cone = (1/3)πr²h

Umgestellte Formen

A_sphere = 4πr² (Sphere Surface Area = dV/dr)

A_cyl = 2πr² + 2πrh (Total Cylinder Surface Area)

A_cone = πr² + πr√(r² + h²) (Cone Base + Lateral Area)

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten — Sphere, Cylinder & Cone Volume & Surface Area — Solid Mensuration Sheet
Symbol	Name	Unit
V_cyl	Right Circular Cylinder Volume (πr²h)	m³
r	Radius (r)	m
h	Height (h; set h = 4r/3 for equal sphere volume)	m

Eingaben & Parameter

rRadius (r)[m]

hHeight (h; set h = 4r/3 for equal sphere volume)[m]

Berechnetes Ergebnis (Right Circular Cylinder Volume (πr²h))

V_cyl =282.7433m³

Formelhinweise & Herleitung

Integrate circular cross-sections of radius r along height [0, h] for a cylinder: V = ∫₀ʰ πr² dz = πr²h.
For a cone, cross-section radius scales linearly as r(z) = r(z/h), so V = ∫₀ʰ πr²(z²/h²) dz = ⅓πr²h.
By Cavalieri's Principle (Archimedes' tombstone theorem), a hemisphere of radius r has the same cross-sectional area at every height z as a cylinder of radius r and height r minus an inverted cone, yielding V_sphere = 2(πr³ − ⅓πr³) = (4/3)πr³.

Durchgerechnete Beispiele

#1: Compute the volume of a cylindrical storage tank of radius r = 3 m and height h = 10 m.

r = 3 mh = 10 m

V_cyl = π × 3² × 10 = 90π m³

→ V_cyl = 282.743 m³ (and a cone of same dimensions holds 94.248 m³)

#2: Find the volume and surface area of a sphere with radius r = 3 m.

r = 3 m

V = (4/3)π(3³) = 36π; A = 4π(3²) = 36π

→ V = 113.097 m³, A = 113.097 m²

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie berechnet man Volumen & Oberfläche von Kugel, Zylinder & Kegel — Körperberechnung mit diesem Online-Werkzeug?+

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