04 // 交互式科学公式百科 // 欧氏几何、解析几何、圆锥曲线与三角定律V_sphere = (4/3)πr³, V_cyl = πr²h, V_cone = (1/3)πr²h
球体、圆柱与圆锥体积及表面积公式 — 立体几何速查
清晰对比球体、正圆柱与正圆锥的体积和表面积公式，直观理解阿基米德经典体积比例关系。
公式速查卡
核心公式
V_sphere = (4/3)πr³, V_cyl = πr²h, V_cone = (1/3)πr²h
变形公式
A_sphere = 4πr² (Sphere Surface Area = dV/dr)
A_cyl = 2πr² + 2πrh (Total Cylinder Surface Area)
A_cone = πr² + πr√(r² + h²) (Cone Base + Lateral Area)
变量说明与单位
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| V_cyl | Right Circular Cylinder Volume (πr²h) | m³ |
| r | Radius (r) | m |
| h | Height (h; set h = 4r/3 for equal sphere volume) | m |
输入数值与参数
[m]
[m]
计算结果 (Right Circular Cylinder Volume (πr²h))
V_cyl =282.7433m³
公式说明与推导背景
- Integrate circular cross-sections of radius r along height [0, h] for a cylinder: V = ∫₀ʰ πr² dz = πr²h.
- For a cone, cross-section radius scales linearly as r(z) = r(z/h), so V = ∫₀ʰ πr²(z²/h²) dz = ⅓πr²h.
- By Cavalieri's Principle (Archimedes' tombstone theorem), a hemisphere of radius r has the same cross-sectional area at every height z as a cylinder of radius r and height r minus an inverted cone, yielding V_sphere = 2(πr³ − ⅓πr³) = (4/3)πr³.
分步计算实例
#1: Compute the volume of a cylindrical storage tank of radius r = 3 m and height h = 10 m.
r = 3 mh = 10 m
V_cyl = π × 3² × 10 = 90π m³
→ V_cyl = 282.743 m³ (and a cone of same dimensions holds 94.248 m³)
#2: Find the volume and surface area of a sphere with radius r = 3 m.
r = 3 m
V = (4/3)π(3³) = 36π; A = 4π(3²) = 36π
→ V = 113.097 m³, A = 113.097 m²
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