04 // موسوعة المعادلات التفاعلية // قوانين الهندسة الإقليدية والتحليلية والقطوع وحساب المثلثاتV_sphere = (4/3)πr³, V_cyl = πr²h, V_cone = (1/3)πr²h
حجوم ومساحات أسطح الكرة والأسطوانة والمخروط — مرجع المجسمات الهندسية
قوانين أرخميدس للهندسة الفراغية لمقارنة وحساب الحجم والمساحة السطحية للكرة والأسطوانة القائمة والمخروط.
مرجع المعادلة
المعادلة الأساسية
V_sphere = (4/3)πr³, V_cyl = πr²h, V_cone = (1/3)πr²h
الصيغ البديلة
A_sphere = 4πr² (Sphere Surface Area = dV/dr)
A_cyl = 2πr² + 2πrh (Total Cylinder Surface Area)
A_cone = πr² + πr√(r² + h²) (Cone Base + Lateral Area)
المتغيرات والوحدات
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| V_cyl | Right Circular Cylinder Volume (πr²h) | m³ |
| r | Radius (r) | m |
| h | Height (h; set h = 4r/3 for equal sphere volume) | m |
المدخلات والمعاملات
[m]
[m]
النتيجة المحسوبة (Right Circular Cylinder Volume (πr²h))
V_cyl =282.7433m³
شرح المعادلة وملاحظاتها
- Integrate circular cross-sections of radius r along height [0, h] for a cylinder: V = ∫₀ʰ πr² dz = πr²h.
- For a cone, cross-section radius scales linearly as r(z) = r(z/h), so V = ∫₀ʰ πr²(z²/h²) dz = ⅓πr²h.
- By Cavalieri's Principle (Archimedes' tombstone theorem), a hemisphere of radius r has the same cross-sectional area at every height z as a cylinder of radius r and height r minus an inverted cone, yielding V_sphere = 2(πr³ − ⅓πr³) = (4/3)πr³.
أمثلة محلولة خطوة بخطوة
#1: Compute the volume of a cylindrical storage tank of radius r = 3 m and height h = 10 m.
r = 3 mh = 10 m
V_cyl = π × 3² × 10 = 90π m³
→ V_cyl = 282.743 m³ (and a cone of same dimensions holds 94.248 m³)
#2: Find the volume and surface area of a sphere with radius r = 3 m.
r = 3 m
V = (4/3)π(3³) = 36π; A = 4π(3²) = 36π
→ V = 113.097 m³, A = 113.097 m²
هل كانت هذه الأداة مفيدة؟
الأسئلة الشائعة
كيف تعمل أداة حجوم ومساحات أسطح الكرة والأسطوانة والمخروط — مرجع المجسمات الهندسية أونلاين؟+
أدخل القيم المعروفة أو حرّك المؤشرات لحساب ومحاكاة حجوم ومساحات أسطح الكرة والأسطوانة والمخروط — مرجع المجسمات الهندسية وفق المعادلة V_sphere = (4/3)πr³, V_cyl = πr²h, V_cone = (1/3)πr²h فوريًا داخل متصفحك. قوانين أرخميدس للهندسة الفراغية لمقارنة وحساب الحجم والمساحة السطحية للكرة والأسطوانة القائمة والمخروط.
هل يمكنني تصدير أو طباعة نتائج حجوم ومساحات أسطح الكرة والأسطوانة والمخروط — مرجع المجسمات الهندسية؟+
نعم، تعمل الأداة بالكامل داخل المتصفح وتتيح نسخ النتائج أو طباعة ورقة العمل أو تنزيل مخططات عالية الدقة بصيغة SVG وPNG وCSV.
هل يمكنني مسح البيانات التجريبية في حجوم ومساحات أسطح الكرة والأسطوانة والمخروط — مرجع المجسمات الهندسية والبدء من الصفر؟+
نعم، انقر على زر المسح والبدء بصفحة فارغة أعلى الأداة لإدخال أرقامك الخاصة من البداية، أو أعد تحميل المثال التوضيحي في أي وقت.