04 // इंटरएक्टिव सूत्र संकलन // यूक्लिडीय, निर्देशांक, शांकव और त्रिकोणमितीय नियमV_sphere = (4/3)πr³, V_cyl = πr²h, V_cone = (1/3)πr²h
गोला, बेलन और शंकु का आयतन व पृष्ठीय क्षेत्रफल — ठोस क्षेत्रमिति शीट
गोले, लंब वृत्तीय बेलन और शंकु के आयतन तथा वक्र व संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्रों की स्पष्ट तुलना।
सूत्र संदर्भ
मुख्य सूत्र
V_sphere = (4/3)πr³, V_cyl = πr²h, V_cone = (1/3)πr²h
अन्य रूप
A_sphere = 4πr² (Sphere Surface Area = dV/dr)
A_cyl = 2πr² + 2πrh (Total Cylinder Surface Area)
A_cone = πr² + πr√(r² + h²) (Cone Base + Lateral Area)
चर और इकाइयाँ
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| V_cyl | Right Circular Cylinder Volume (πr²h) | m³ |
| r | Radius (r) | m |
| h | Height (h; set h = 4r/3 for equal sphere volume) | m |
इनपुट और मान
[m]
[m]
गणना का परिणाम (Right Circular Cylinder Volume (πr²h))
V_cyl =282.7433m³
सूत्र की जानकारी और आधार
- Integrate circular cross-sections of radius r along height [0, h] for a cylinder: V = ∫₀ʰ πr² dz = πr²h.
- For a cone, cross-section radius scales linearly as r(z) = r(z/h), so V = ∫₀ʰ πr²(z²/h²) dz = ⅓πr²h.
- By Cavalieri's Principle (Archimedes' tombstone theorem), a hemisphere of radius r has the same cross-sectional area at every height z as a cylinder of radius r and height r minus an inverted cone, yielding V_sphere = 2(πr³ − ⅓πr³) = (4/3)πr³.
हल किए गए उदाहरण
#1: Compute the volume of a cylindrical storage tank of radius r = 3 m and height h = 10 m.
r = 3 mh = 10 m
V_cyl = π × 3² × 10 = 90π m³
→ V_cyl = 282.743 m³ (and a cone of same dimensions holds 94.248 m³)
#2: Find the volume and surface area of a sphere with radius r = 3 m.
r = 3 m
V = (4/3)π(3³) = 36π; A = 4π(3²) = 36π
→ V = 113.097 m³, A = 113.097 m²
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अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
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