04 // インタラクティブ数式・公式辞典 // コーポレートファイナンス・オプション・投資の公式集f* = (b · p − q) / b = p − (1 − p) / b
ケリー基準（ケリーの公式）— 長期複利成長を最大化する資金配分比率
期待値がプラスの投資や試行において、破産を避けながら長期的な資産の幾何平均成長率を最大化する最適投資比率 f* を導く公式です。
公式リファレンス
基本公式
f* = (b · p − q) / b = p − (1 − p) / b
変形した式
f*_continuous = (μ − r) / σ² (Merton-Kelly Continuous Portfolio Fraction)
g(f) = p · ln(1 + b·f) + q · ln(1 − f) (Expected Logarithmic Growth Rate)
f_half = 0.5 · f* (Half-Kelly: 75% of Growth Rate with 50% Volatility)
変数と単位
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| f* | Optimal Kelly Bankroll Fraction (%) | % |
| p | Win Probability (p, 0 to 1) | 1 |
| b | Net Payout Odds Ratio (b = Win / Risk) | 1 |
入力値・パラメータ
[1]
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計算結果 (Optimal Kelly Bankroll Fraction (%))
f* =10%
公式の解説・背景
- After N independent trials with W wins and L losses, wealth is W_N = W₀ (1 + bf)^W (1 − f)^L.
- Maximize the expected logarithmic growth rate per trial g(f) = p ln(1 + bf) + q ln(1 − f) by setting dg/df = 0.
- Solving pb / (1 + bf*) − q / (1 − f*) = 0 gives pb(1 − f*) = q(1 + bf*) ⇒ f* = (bp − q) / b.
具体的な計算例
#1: Find the optimal Kelly fraction for an even-money trade (b = 1) with a 55% win rate (p = 0.55).
p = 0.55q = 0.45b = 1.0
f* = (1.0 × 0.55 − 0.45) / 1.0 = 0.10
→ f* = 10.0% of bankroll (Half-Kelly = 5.0%)
#2: Find the optimal Kelly fraction for an asymmetric 2-to-1 reward/risk trade (b = 2.0) with a 45% win rate.
p = 0.45q = 0.55b = 2.0
f* = (2.0 × 0.45 − 0.55) / 2.0 = 0.35 / 2.0
→ f* = 17.5% of bankroll
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よくある質問（FAQ）
ケリー基準（ケリーの公式）— 長期複利成長を最大化する資金配分比率の使い方は？+
数値を入力するかスライダーを動かすだけで、ケリー基準（ケリーの公式）— 長期複利成長を最大化する資金配分比率（数式: f* = (b · p − q) / b = p − (1 − p) / b）をブラウザ上で即座に計算・視覚化できます。期待値がプラスの投資や試行において、破産を避けながら長期的な資産の幾何平均成長率を最大化する最適投資比率 f* を導く公式です。
ケリー基準（ケリーの公式）— 長期複利成長を最大化する資金配分比率の計算結果やグラフは保存できますか？+
はい。計算結果のワンクリックコピーに加え、高解像度のSVG・PNG画像、CSVデータ、印刷用ワークシートとして即座に出力できます。
ケリー基準（ケリーの公式）— 長期複利成長を最大化する資金配分比率のサンプルデータを消去して白紙から入力できますか？+
はい。ツール上部のクリア（白紙から開始）ボタンを押すとすべての入力欄がリセットされ、いつでもサンプルデータを再読み込みできます。