04 // 인터랙티브 공식 백과사전 // 기업재무·파생상품 및 포트폴리오 공식집f* = (b · p − q) / b = p − (1 − p) / b
켈리 기준(켈리 공식) — 장기 기하 복리 성장을 극대화하는 최적 자본 배분
기댓값이 양수인 투자 기회에서 파산 위험을 피하고 장기 복리 자산 증가율을 최대화하는 최적 투자 비중 f*를 구하는 정보이론 공식입니다.
공식 요약
기본 공식
f* = (b · p − q) / b = p − (1 − p) / b
변형 공식
f*_continuous = (μ − r) / σ² (Merton-Kelly Continuous Portfolio Fraction)
g(f) = p · ln(1 + b·f) + q · ln(1 − f) (Expected Logarithmic Growth Rate)
f_half = 0.5 · f* (Half-Kelly: 75% of Growth Rate with 50% Volatility)
변수 및 단위
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| f* | Optimal Kelly Bankroll Fraction (%) | % |
| p | Win Probability (p, 0 to 1) | 1 |
| b | Net Payout Odds Ratio (b = Win / Risk) | 1 |
입력값 및 설정
[1]
[1]
계산 결과 (Optimal Kelly Bankroll Fraction (%))
f* =10%
공식 설명 및 배경
- After N independent trials with W wins and L losses, wealth is W_N = W₀ (1 + bf)^W (1 − f)^L.
- Maximize the expected logarithmic growth rate per trial g(f) = p ln(1 + bf) + q ln(1 − f) by setting dg/df = 0.
- Solving pb / (1 + bf*) − q / (1 − f*) = 0 gives pb(1 − f*) = q(1 + bf*) ⇒ f* = (bp − q) / b.
단계별 풀이 예제
#1: Find the optimal Kelly fraction for an even-money trade (b = 1) with a 55% win rate (p = 0.55).
p = 0.55q = 0.45b = 1.0
f* = (1.0 × 0.55 − 0.45) / 1.0 = 0.10
→ f* = 10.0% of bankroll (Half-Kelly = 5.0%)
#2: Find the optimal Kelly fraction for an asymmetric 2-to-1 reward/risk trade (b = 2.0) with a 45% win rate.
p = 0.45q = 0.55b = 2.0
f* = (2.0 × 0.45 − 0.55) / 2.0 = 0.35 / 2.0
→ f* = 17.5% of bankroll
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자주 묻는 질문 (FAQ)
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