04 // Compendium Interactif de Formules // ÉQUATIONS DE FINANCE D'ENTREPRISE, PRODUITS DÉRIVÉS ET PORTEFEUILLESf* = (b · p − q) / b = p − (1 − p) / b

Formule du critère de Kelly — Allocation optimale du capital et croissance

Détermine la fraction optimale f* d'un capital à engager sur une opportunité à espérance positive afin de maximiser la croissance à long terme.

Fiche formule

Formule principale

f* = (b · p − q) / b = p − (1 − p) / b

Formes équivalentes

f*_continuous = (μ − r) / σ² (Merton-Kelly Continuous Portfolio Fraction)

g(f) = p · ln(1 + b·f) + q · ln(1 − f) (Expected Logarithmic Growth Rate)

f_half = 0.5 · f* (Half-Kelly: 75% of Growth Rate with 50% Volatility)

Variables et unités

Variables et unités — Kelly Criterion Formula — Optimal Capital Allocation & Geometric Growth
Symbol	Name	Unit
f*	Optimal Kelly Bankroll Fraction (%)	%
p	Win Probability (p, 0 to 1)	1
b	Net Payout Odds Ratio (b = Win / Risk)	1

Valeurs et paramètres

pWin Probability (p, 0 to 1)[1]

bNet Payout Odds Ratio (b = Win / Risk)[1]

Résultat calculé (Optimal Kelly Bankroll Fraction (%))

f* =10%

Explications et origine de la formule

After N independent trials with W wins and L losses, wealth is W_N = W₀ (1 + bf)^W (1 − f)^L.
Maximize the expected logarithmic growth rate per trial g(f) = p ln(1 + bf) + q ln(1 − f) by setting dg/df = 0.
Solving pb / (1 + bf*) − q / (1 − f*) = 0 gives pb(1 − f*) = q(1 + bf*) ⇒ f* = (bp − q) / b.

Exemples détaillés

#1: Find the optimal Kelly fraction for an even-money trade (b = 1) with a 55% win rate (p = 0.55).

p = 0.55q = 0.45b = 1.0

f* = (1.0 × 0.55 − 0.45) / 1.0 = 0.10

→ f* = 10.0% of bankroll (Half-Kelly = 5.0%)

#2: Find the optimal Kelly fraction for an asymmetric 2-to-1 reward/risk trade (b = 2.0) with a 45% win rate.

p = 0.45q = 0.55b = 2.0

f* = (2.0 × 0.45 − 0.55) / 2.0 = 0.35 / 2.0

→ f* = 17.5% of bankroll

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Questions Fréquemment Posées

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Modifiez les paramètres pour résoudre et visualiser Formule du critère de Kelly — Allocation optimale du capital et croissance selon la formule f* = (b · p − q) / b = p − (1 − p) / b instantanément dans votre navigateur. Détermine la fraction optimale f* d'un capital à engager sur une opportunité à espérance positive afin de maximiser la croissance à long terme.

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