04 // 交互式科学公式百科 // 公司金融、衍生品定价与投资组合公式f* = (b · p − q) / b = p − (1 − p) / b
凯利公式 (Kelly Criterion) — 最优仓位分配与长期复利最大化
源自信息论的科学资金管理公式，计算在正期望机会中应投入的本金最优比例 f*，实现长期复利增长最大化。
公式速查卡
核心公式
f* = (b · p − q) / b = p − (1 − p) / b
变形公式
f*_continuous = (μ − r) / σ² (Merton-Kelly Continuous Portfolio Fraction)
g(f) = p · ln(1 + b·f) + q · ln(1 − f) (Expected Logarithmic Growth Rate)
f_half = 0.5 · f* (Half-Kelly: 75% of Growth Rate with 50% Volatility)
变量说明与单位
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| f* | Optimal Kelly Bankroll Fraction (%) | % |
| p | Win Probability (p, 0 to 1) | 1 |
| b | Net Payout Odds Ratio (b = Win / Risk) | 1 |
输入数值与参数
[1]
[1]
计算结果 (Optimal Kelly Bankroll Fraction (%))
f* =10%
公式说明与推导背景
- After N independent trials with W wins and L losses, wealth is W_N = W₀ (1 + bf)^W (1 − f)^L.
- Maximize the expected logarithmic growth rate per trial g(f) = p ln(1 + bf) + q ln(1 − f) by setting dg/df = 0.
- Solving pb / (1 + bf*) − q / (1 − f*) = 0 gives pb(1 − f*) = q(1 + bf*) ⇒ f* = (bp − q) / b.
分步计算实例
#1: Find the optimal Kelly fraction for an even-money trade (b = 1) with a 55% win rate (p = 0.55).
p = 0.55q = 0.45b = 1.0
f* = (1.0 × 0.55 − 0.45) / 1.0 = 0.10
→ f* = 10.0% of bankroll (Half-Kelly = 5.0%)
#2: Find the optimal Kelly fraction for an asymmetric 2-to-1 reward/risk trade (b = 2.0) with a 45% win rate.
p = 0.45q = 0.55b = 2.0
f* = (2.0 × 0.45 − 0.55) / 2.0 = 0.35 / 2.0
→ f* = 17.5% of bankroll
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常见问题解答 (FAQ)
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