04 // インタラクティブ数式・公式辞典 // 流体力学・材料力学・伝熱・アナログ回路の公式集P_cr = (π² · E · I) / (K · L)²
オイラーの座屈荷重公式 — 細長い柱の臨界圧縮荷重
軸方向に圧縮力を受ける細長い柱が、材料の降伏よりも先に横方向へ急に折れ曲がる（弾性座屈する）限界荷重を求める材料力学の公式です。
公式リファレンス
基本公式
P_cr = (π² · E · I) / (K · L)²
変形した式
σ_cr = π² · E / (KL / r)²
r = √(I / A)
変数と単位
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| Pcr | Critical Buckling Load | N |
| E | Young's Modulus | Pa |
| I | Minimum Area Moment of Inertia | m⁴ |
| K | Effective Length Factor | dimensionless |
| L | Unsupported Column Length | m |
入力値・パラメータ
[Pa]
[m⁴]
[dimensionless]
[m]
計算結果 (Critical Buckling Load)
Pcr =1,048,645N
公式の解説・背景
- Solves the fourth-order deflected beam differential equation EI y'' + P y = 0, yielding nontrivial sinusoidal eigenmodes sin(√(P/EI)x) = 0 at x = KL when √(P/EI)·KL = nπ.
- Standard K values: pinned-pinned K = 1.0, fixed-fixed K = 0.5, fixed-pinned K = 0.7, fixed-free flagpole K = 2.0.
具体的な計算例
#1: Pinned-pinned structural steel column (E = 200 GPa, I_min = 8.5 × 10⁻⁶ m⁴, K = 1.0) of height L = 4.0 m.
E = 2.0×10¹¹ PaI = 8.5×10⁻⁶ m⁴KL = 4.0 m
P_cr = (9.8696 × 2×10¹¹ × 8.5×10⁻⁶) / 16 = 16,778,327 / 16
→ P_cr = 1.049 MN (1,049 kN)
#2: Converting the same column to fixed-free cantilever boundary conditions (K = 2.0).
KL = 2.0 × 4.0 = 8.0 m
P_cr divides by 2² = 4: 1,048.6 kN / 4
→ P_cr = 262.2 kN
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よくある質問（FAQ）
オイラーの座屈荷重公式 — 細長い柱の臨界圧縮荷重の使い方は？+
数値を入力するかスライダーを動かすだけで、オイラーの座屈荷重公式 — 細長い柱の臨界圧縮荷重（数式: P_cr = (π² · E · I) / (K · L)²）をブラウザ上で即座に計算・視覚化できます。軸方向に圧縮力を受ける細長い柱が、材料の降伏よりも先に横方向へ急に折れ曲がる（弾性座屈する）限界荷重を求める材料力学の公式です。
オイラーの座屈荷重公式 — 細長い柱の臨界圧縮荷重の計算結果やグラフは保存できますか？+
はい。計算結果のワンクリックコピーに加え、高解像度のSVG・PNG画像、CSVデータ、印刷用ワークシートとして即座に出力できます。
オイラーの座屈荷重公式 — 細長い柱の臨界圧縮荷重のサンプルデータを消去して白紙から入力できますか？+
はい。ツール上部のクリア（白紙から開始）ボタンを押すとすべての入力欄がリセットされ、いつでもサンプルデータを再読み込みできます。