04 // 인터랙티브 공식 백과사전 // 유체역학·고체역학·열전달 및 아날로그 필터 공식집P_cr = (π² · E · I) / (K · L)²
오일러 기둥 임계 좌굴 하중 공식
가늘고 긴 기둥에 축방향 압축력이 작용할 때 갑작스러운 측면 휨(탄성 좌굴)이 일어나는 한계 하중을 결정하는 구조역학 공식입니다.
공식 요약
기본 공식
P_cr = (π² · E · I) / (K · L)²
변형 공식
σ_cr = π² · E / (KL / r)²
r = √(I / A)
변수 및 단위
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| Pcr | Critical Buckling Load | N |
| E | Young's Modulus | Pa |
| I | Minimum Area Moment of Inertia | m⁴ |
| K | Effective Length Factor | dimensionless |
| L | Unsupported Column Length | m |
입력값 및 설정
[Pa]
[m⁴]
[dimensionless]
[m]
계산 결과 (Critical Buckling Load)
Pcr =1,048,645N
공식 설명 및 배경
- Solves the fourth-order deflected beam differential equation EI y'' + P y = 0, yielding nontrivial sinusoidal eigenmodes sin(√(P/EI)x) = 0 at x = KL when √(P/EI)·KL = nπ.
- Standard K values: pinned-pinned K = 1.0, fixed-fixed K = 0.5, fixed-pinned K = 0.7, fixed-free flagpole K = 2.0.
단계별 풀이 예제
#1: Pinned-pinned structural steel column (E = 200 GPa, I_min = 8.5 × 10⁻⁶ m⁴, K = 1.0) of height L = 4.0 m.
E = 2.0×10¹¹ PaI = 8.5×10⁻⁶ m⁴KL = 4.0 m
P_cr = (9.8696 × 2×10¹¹ × 8.5×10⁻⁶) / 16 = 16,778,327 / 16
→ P_cr = 1.049 MN (1,049 kN)
#2: Converting the same column to fixed-free cantilever boundary conditions (K = 2.0).
KL = 2.0 × 4.0 = 8.0 m
P_cr divides by 2² = 4: 1,048.6 kN / 4
→ P_cr = 262.2 kN
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자주 묻는 질문 (FAQ)
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