04 // 交互式科学公式百科 // 流体力学、材料力学、传热与信号滤波公式P_cr = (π² · E · I) / (K · L)²

欧拉细长压杆临界屈曲载荷公式

结构力学经典公式，用于计算细长受压柱在发生突然侧向弯曲失稳前所能承受的最大轴向临界压力。

公式速查卡

核心公式

P_cr = (π² · E · I) / (K · L)²

变形公式

σ_cr = π² · E / (KL / r)²

r = √(I / A)

变量说明与单位

变量说明与单位 — Euler Critical Column Buckling Load Formula
Symbol	Name	Unit
Pcr	Critical Buckling Load	N
E	Young's Modulus	Pa
I	Minimum Area Moment of Inertia	m⁴
K	Effective Length Factor	dimensionless
L	Unsupported Column Length	m

输入数值与参数

EYoung's Modulus[Pa]

IMinimum Area Moment of Inertia[m⁴]

KEffective Length Factor[dimensionless]

LUnsupported Column Length[m]

计算结果 (Critical Buckling Load)

Pcr =1,048,645N

公式说明与推导背景

Solves the fourth-order deflected beam differential equation EI y'' + P y = 0, yielding nontrivial sinusoidal eigenmodes sin(√(P/EI)x) = 0 at x = KL when √(P/EI)·KL = nπ.
Standard K values: pinned-pinned K = 1.0, fixed-fixed K = 0.5, fixed-pinned K = 0.7, fixed-free flagpole K = 2.0.

#1: Pinned-pinned structural steel column (E = 200 GPa, I_min = 8.5 × 10⁻⁶ m⁴, K = 1.0) of height L = 4.0 m.

E = 2.0×10¹¹ PaI = 8.5×10⁻⁶ m⁴KL = 4.0 m

P_cr = (9.8696 × 2×10¹¹ × 8.5×10⁻⁶) / 16 = 16,778,327 / 16

→ P_cr = 1.049 MN (1,049 kN)

#2: Converting the same column to fixed-free cantilever boundary conditions (K = 2.0).

KL = 2.0 × 4.0 = 8.0 m

P_cr divides by 2² = 4: 1,048.6 kN / 4

→ P_cr = 262.2 kN

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