04 // 인터랙티브 공식 백과사전 // 미적분·급수 및 대수 항등식 핵심 공식집log_b(x) = ln(x) / ln(b) = log₁₀(x) / log₁₀(b)
로그의 성질 및 밑의 변환 공식 — 자연로그·상용로그·이진로그 총정리
로그의 곱·몫·거듭제곱 법칙과 밑의 변환 공식을 자연로그(ln), 이진로그(log₂), 상용로그(log₁₀) 전반에 걸쳐 한눈에 정리했습니다.
공식 요약
기본 공식
log_b(x) = ln(x) / ln(b) = log₁₀(x) / log₁₀(b)
변형 공식
log_b(x · y) = log_b(x) + log_b(y) (Product Rule)
log_b(x / y) = log_b(x) − log_b(y) (Quotient Rule)
log_b(xᵖ) = p · log_b(x), b^(log_b x) = x (Power & Inverse Identity)
변수 및 단위
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| log_b(x) | Logarithm of x in Base b | dimensionless |
| x | Argument Value (x > 0) | 1 |
| b | Logarithm Base (b > 0, b ≠ 1) | 1 |
입력값 및 설정
[1]
[1]
계산 결과 (Logarithm of x in Base b)
log_b(x) =10dimensionless
공식 설명 및 배경
- Let y = log_b(x), which by definition means bʸ = x.
- Take the natural logarithm ln(·) of both sides: ln(bʸ) = ln(x).
- Apply the power property y · ln(b) = ln(x) and divide by ln(b) ≠ 0 to obtain y = ln(x) / ln(b).
단계별 풀이 예제
#1: Evaluate log₂(1024) and log₂(50) using natural logarithms.
x₁ = 1024, b = 2x₂ = 50, b = 2
log₂(1024) = ln(1024)/ln(2) = 10; log₂(50) = 3.91202 / 0.69315
→ log₂(1024) = 10, log₂(50) ≈ 5.64386
#2: Solve for compounding time t in 2 = (1.07)ᵗ (the exact Rule of 72 doubling time).
x = 2b = 1.07
t = log_{1.07}(2) = ln(2) / ln(1.07) = 0.69315 / 0.06766
→ t = 10.2448 years
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자주 묻는 질문 (FAQ)
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